теория упругости, полуполоса, функции Фадля–Папковича, биортого- нальные функции, разложения Лагранжа, точные решения

Рассматриваются разложения Лагранжа по функциям Фадля–Папковича, воз- никающим при решении первой основной краевой задачи теории упругости в полуполосе {Π+ : x ≥ 0, |y| ≤ h}. Независимо от вида однородных граничных условий на длинных сто- ронах полуполосы всегда имеются 2 представления для функций Фадля–Папковича. Оба представления рассмотрены в работе. Показана их эквивалентность на определенных физи- чески естественных классах раскладываемых функций. Построены функции, биортогональные к функциям Фадля–Папковича, а с их помощью разложения Лагранжа. Разложениями Лагранжа, в отличие от разложений, возникающих при решении краевой задачи, называются разложения только одной функции по какой-либо одной системе функций Фадля–Папковича. Разложения Лагранжа являются аналогами разложений по тригонометрическим системам функций и играют такую же роль при решении краевых задач, какую тригонометрические ряды играют в разложениях Файлона–Рибьера [1]. Разложения Лагранжа рассматривались и раньше, например, в работах [2]–[15], но лишь в той степени, в какой это требовалось для решения конкретной краевой задачи. Предлагаемая статья имеет целью детальное изучение этих разложений. Функции Фадля–Папковича точно удовлетворяют нулевым граничным условиям на продольных сторонах полуполосы, но устроены они сложнее: комплекснозначны, не ортогональны и не образуют классического базиса на отрезке (торце полуполосы), на котором задаются раскладываемые функции. Но к ним все же можно построить определенные на римановой поверхности логарифма биортогональные системы функций, а затем получить явные выражения (в виде простых интегралов Фурье от граничных функций) для искомых коэффициентов разложений по той же схеме, что и в классических решениях Файлона–Рибьера [16]. Сутью подхода является новое представление о базисе функций на отрезке, являющееся обобщением классического понимания базиса на отрезке. Опираясь на работы [17], [18], классический базис можно трактовать как базис в комплексной плоскости. Тогда как функции Фадля–Папковича образуют базис на римановой поверхности логарифма. Причем в частном случае, когда функции Фадля–Папковича вырождаются в обычные тригонометрические системы функций, базис на римановой поверхности становится классическим базисом на отрезке. В основе соответствующей теории лежит преобразование Бореля в классе квазицелых функций экспоненциального типа (классический базис основан на теории целых функций экспоненциального типа и теореме Пэли–Винера [19]). Класс квазицелых функций экспоненциального типа и преобразование Бореля в этом классе были впервые введены в 1935 году в работе [20]. В статье [21] изучались свойства этого преобразования в той степени, насколько это необходимо при решении краевых задач теории упругости в полуполосе.

Меньшова Ирина Владимировна e-mail: menshovairina@yandex.ru, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник лаборатории геодинамики, Институт теории прогноза землетрясений и математи- ческой геофизики РАН, г. Москва, Россия.