Михин М.Н., Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Системы целых рациональных инвариантов в аппроксимациях энергетических форм микрополярных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2025. № 4(66). С. 255-270. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2025.66.4.018. EDN: WEPFSK.

Автор(ы)

Михин М.Н. — Филиал Российского государственного гуманитарного университетаORCIDeLibrary

Мурашкин Е.В. — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Радаев Ю.Н. — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Название статьи

Системы целых рациональных инвариантов в аппроксимациях энергетических форм микрополярных тел

Название (англ.): Systems of integer rational invariants in energy form approximations for hemitropic micropolar solid

Индекс(ы) УДК

539.319

DOI

10.37972/chgpu.2025.66.4.018

EDN

WEPFSK

Ключевые слова

наномасштаб; микромасштаб; энергетическая форма; целочисленный рациональный алгебраический инвариант; неприводимая система инвариантов; аппроксимация шестой степени; гемитропное микрополярное упругое тело

Аннотация

В настоящем исследовании предлагается алгоритм получения аппроксимации шестого порядка потенциала силовых и моментных напряжений гемитропного микрополярного упругого тела, учитывающего (кроме базовой квадратичной аппроксимации) поправки вплоть до шестого алгебраического порядка, при систематическом использовании теории алгебраических инвариантов. С этой целью обсуждается полный перечень неприводимых инвариантов для системы двух асимметричных тензоров второго ранга в форме инвариантных следов. Предложен исходный набор из 86 инвариантных следов, максимальная степень которых равна 6. Предложена схема построения инвариантов шестой степени, разбитых для удобства по восьми подгруппам. В итоге, гемитропный микрополярный потенциал определяется с помощью 1034 независимых механических модулей. Получены определяющие уравнения для силовых и моментных напряжений, включающие поправки второй, третьей, четвертой и пятой алгебраических степеней.

Финансирование

Название программы финансирования: Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации 124012500437-9).. Номер программы финансирования: 124012500437-9. Организация, предоставившая финансирование: Государственное задание.

Даты

Поступила: 12.08.2025; Принята: 22.12.2025; Опубликована: 30.12.2025

Страницы

255-270

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Theory of Poisson's ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2024. - Т. 45, № 5. - С. 2378-2390. - 10.1134/ s1995080224602480.  DOI: 10.1134/s1995080224602480 EDN: ASGCQB
2. Murashkin E. V., Radayev Y. N. О квадратичных поправках определяющих уравнений для гемитропного микрополярного упругого тела // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.] - 2025. - Т. 29, № 2. - С. 207-219. -  DOI: 10.14498/vsgtu2144 EDN: YHPHPY
3. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О квадратичных поправках определяющих уравнений для гемитропного микрополярного упругого тела // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - Самара, 2025. - Т. 29, № 2. - С. 274-293. -  DOI: 10.14498/vsgtu2144 EDN: DZUMDJ
4. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки. - 2018. - Т. 22, вып. 3. - С. 504-517. -  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
5. Радаев Ю., Мурашкин Е. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. - 2020. - Т. 82, № 4. - С. 399-412. -  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
6. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Heat Conduction of Micropolar Solids Sensitive to Mirror Reflections of Three-Dimensional Space // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. - 2023. - Т. 165, № 4. - С. 389-403. -  DOI: 10.26907/2541-7746.2023.4.389-403 EDN: HTQAHJ
7. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids // Mechanics of Solids. - United States, 2023. - Т. 58, № 9. - С. 3111-3119. -  DOI: 10.3103/S0025654423700255 EDN: WBUGBA
8. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity // Mechanics of Solids. - United States, 2024. - Т. 59, № 1. - С. 555-580. -  DOI: 10.1134/s0025654424700274 EDN: GBHEKM
9. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. - 2023. - Т. 58, № 3. - С. 802-813. -  DOI: 10.3103/s0025654423700127 EDN: CISJLW
10. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 3(57). - С. 112-128. - 10.37972/chgpu. 2023.57.3.010.  DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010 EDN: RQUKBG
11. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Мультивесовая термомеханика гемитропных микрополярных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 4(58). - С. 86-120. -  DOI: 10.37972/chgpu.2023.58.4.010 EDN: ZUIUPG
12. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2022. - 4(54). - С. 108-115. - 10.37972/ chgpu.2022.54.4.009.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009 EDN: DTZTJY
13. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2022. - 3(53). - С. 86-100. -  DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010 EDN: YOEHQV
14. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 1(55). - С. 110-121. -  DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012 EDN: JXXIAX
15. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2023. - Т. 44, № 6. - С. 2440-2449. - 10.1134/ s1995080223060392.  DOI: 10.1134/s1995080223060392 EDN: PINYDI
16. Krylova E. Y., Murashkin E. V., Radaev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic, and ultraisotropic micropolar elastic solids // Mechanics of Solids. - United States, 2024. - Т. 59, № 3. - С. 1311-1320. - 10.1134/ s0025654424603719.  DOI: 10.1134/s0025654424603719 EDN: JQCHME
17. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном алгоритме аппроксимации энергетической формы гемитропного микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2025. - № 2. - С. 255-269. -  DOI: 10.37972/chgpu.2025.64.2.015 EDN: SJOURE
18. Спенсер Э. Теория инвариантов. - Мир, 1974.
19. Spencer A., Rivlin R. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: part I // Archive for rational mechanics and analysis. - 1962. - Т. 9. - С. 45-63.  DOI: 10.1007/bf00253332 EDN: GVUVPP
20. Spencer A. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: part II // Archive for rational mechanics and analysis. - 1965. - Т. 18, № 1. - С. 51-82.  DOI: 10.1007/bf00253982 EDN: LEYJBJ
21. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Cubic Approximation of Stress Potential for a Hemitropic Micropolar Elastic Solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2025. - Т. 46, № 5. - С. 2391-2400. -  DOI: 10.1134/S1995080225606514 EDN: UUSATV
22. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Системы целых рациональных гемитропных инвариантов в механике микрополярного континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2025. - 2(64). - С. 282-300. -  DOI: 10.37972/chgpu.2025.63.1.002 EDN: SJOURE

1. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Theory of Poisson’s Ratio for a Thermoelastic Micropolar Acentric Isotropic Solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2024. Vol. 45, no. 5. Pp. 2378–2390. DOI: 10.1134/S1995080224602480.
2. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On Quadratic Corrections to Constitutive Equations for a Hemitropic Micropolar Elastic Solid // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.]. 2025. Vol. 29, no. 2. Pp. 207–219. DOI: 10.14498/vsgtu2144.
3. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On Quadratic Corrections to Constitutive Equations for a Hemitropic Micropolar Elastic Solid // Journal of Samara State Technical University. Series: Physical and Mathematical Sciences. Samara, 2025. Vol. 29, no. 2. Pp. 274–293. DOI: 10.14498/vsgtu2144.
4. Radayev Y. N. Rule of Multipliers in Covariant Formulations of Micropolar Continuum Mechanics Theories // Vestn. Sam. Gos. Tekhn. Univ. Ser. Fiz.-Mat. Nauki. 2018. Vol. 22, no. 3. Pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635.
5. Radaev Y., Murashkin E. Pseudotensor Formulation of the Mechanics of Hemitropic Micropolar Media // Problems of Strength and Plasticity. 2020. Vol. 82, no. 4. Pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
6. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Heat Conduction of Micropolar Solids Sensitive to Mirror Reflections of Three-Dimensional Space // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2023. Vol. 165, no. 4. Pp. 389–403. DOI: 10.26907/2541-7746.2023.4.389-403.
7. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat Transfer in Anisotropic Micropolar Solids // Mechanics of Solids. 2023. Vol. 58, no. 9. Pp. 3111–3119. DOI: 10.3103/S0025654423700255.
8. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On Algebraic Triple Weights Formulation of Micropolar Thermoelasticity // Mechanics of Solids. 2024. Vol. 59, no. 1. Pp. 555–580. DOI: 10.1134/S0025654424700274.
9. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. 2023. Vol. 58, no. 3. Pp. 802–813. DOI: 10.3103/S0025654423700127.
10. Murashkin E. V., Radaev Y. N. On the Polyvariance of the Basic Equations of Coupled Thermoelasticity of a Micropolar Body // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2023. No. 3(57). Pp. 112–128. DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010.
11. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Multiweight Thermomechanics of Hemitropic Micropolar Solids // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2023. No. 4(58). Pp. 86–120. DOI: 10.37972/chgpu.2023.58.4.010.
12. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Reduction of Natural Forms of Hemitropic Energy Potentials to Conventional Forms // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2022. No. 4(54). Pp. 108–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009.
13. Murashkin E. V., Radaev Y. N. On Two Basic Natural Forms of the Potential of Asymmetric Force and Couple-Stress Tensors in the Mechanics of Hemitropic Bodies // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2022. No. 3(53). Pp. 86–100. DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010.
14. Murashkin E. V. On the Relationship Between Micropolar Constitutive Parameters of Thermodynamic State Potentials // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2023. No. 1(55). Pp. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012.
15. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A Negative Weight Pseudotensor Formulation of Coupled Hemitropic Thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. Vol. 44, no. 6. Pp. 2440–2449. DOI: 10.1134/S1995080223060392.
16. Krylova E. Y., Murashkin E. V., Radaev Y. N. The Nye Cells and Figures for Athermic Hemitropic, Isotropic, and Ultraisotropic Micropolar Elastic Solids // Mechanics of Solids. 2024. Vol. 59, no. 3. Pp. 1311–1320. DOI: 10.1134/S0025654424603719.
17. Murashkin E. V., Radaev Y. N. On an Algorithm for Approximating the Energy Form of a Hemitropic Micropolar Body // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2025. No. 2(64). Pp. 255–269. DOI: 10.37972/chgpu.2025.64.2.015.
18. Spencer A. Theory of Invariants. Moscow: Mir Publ., 1974.
19. Spencer A., Rivlin R. Isotropic Integrity Bases for Vectors and Second-Order Tensors: Part I // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1962. Vol. 9. Pp. 45–63. DOI: 10.1007/BF00253332.
20. Spencer A. Isotropic Integrity Bases for Vectors and Second-Order Tensors: Part II // Archive for Rational Mechanics and Analysis. 1965. Vol. 18, no. 1. Pp. 51–82. DOI: 10.1007/BF00253982.
21. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Cubic Approximation of Stress Potential for a Hemitropic Micropolar Elastic Solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2025. Vol. 46, no. 5. Pp. 2391–2400. DOI: 10.1134/S1995080225606514.
22. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Systems of Integer Rational Hemitropic Invariants in Micropolar Continuum Mechanics // Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost. 2025. No. 2(64). Pp. 282–300. DOI: 10.37972/chgpu.2025.63.1.002.

Авторские права и лицензия

© 2025 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.