Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева

полуплоскость, периодическая задача, ребра жесткости, функции Фадля-Папковича, биортогональные функции, разложения Лагранжа.

Изучаются базисные свойства (в частности, разложения Лагранжа) по  функциям Фадля-Папковича, возникающим при решении краевой задачи для полуплоскости, содержащей периодический набор ребер жесткости, воспринимающих только изгибные деформации и не работающих на растяжение-сжатие. Разложениями Лагранжа, в отличие от разложений, которые появляются при решении краевых задач теории упругости в полуполосе, когда неизвестные коэффициенты разложений определяются из разложений двух заданных на торце полуполосы функций в ряды по двум системам функций Фадля-Папковича, называются разложения только одной функции по какой-либо одной системе функций. В этом смысле ряды  Лагранжа  играют  такую  же  роль,  какую  тригонометрические  ряды  играют в решениях Файлона-Рибьера [1]. Вид функций Фадля-Папковича зависит от граничных условий на длинных сторонах полуполосы. Примеры разложений Лагранжа, по функциям Фадля-Папковича, возникающим при решении той или иной краевой задачи, можно найти в статьях [2]–[7]. Есть некоторые общие методы и подходы при изучении базисных свойств систем функций Фадля-Папковича. Однако в каждом конкретном случае возникают свои, специфические особенности, присущие только данной краевой задаче и соответствующим ей функциям Фадля-Папковича. Особенностям разложений Лагранжа, возникающим при решении рассматриваемой краевой задачи, посвящена эта статья. Рассматриваются два типа разложений: разложения зависящих от некоторого параметра, целых по этому параметру порождающих [8] функций, т. е функций, порождающих какую-либо систему функций Фадля- Папковича, когда параметр пробегает множество собственных чисел краевой задачи, и разложения с использованием финитных частей биортогональных функций. В первом случае целая порождающая функция продолжается как целая вне отрезка – торца полуполосы – на всю бесконечную прямую, биортогональные функции в явном виде не выписываются, а искомые коэффициенты разложений в ряды Лагранжа определяются  прямо  из уравнения для  определения  биортогональных  функций.  Во  втором  случае  биортогональные функции выписываются в явном виде. Они определены на отрезке – торце полуполосы, – имеют простой вид, но самое важное, что с их помощью можно строить разложения не только аналитических функций, но фактически любых функций, для которых существует интеграл Фурье. Для того чтобы построить разложение Лагранжа некоторой, заданной на отрезке – торце полуполосы – функции, нужно вначале эту функцию каким-либо образом продолжить вне этого отрезка. От того, как сделано это продолжение, будут зависеть коэффициенты разложения в ряды Лагранжа. Таким образом, разложения Лагранжа не единственны. Неединственность разложений Лагранжа, обусловленная комплекснозначностью систем функций Фадля-Папковича, – одно из важнейших свойств рассматриваемых систем функций.

Семенова Ирина Александровна e-mail: irishka_g_05@mail.ru, аспирант кафедры математического анализа, алгебры и геометрии, Чувашский государственный педагогический университет им. И. Я. Яковлева, г. Чебоксары, Россия.