Захаров В.Г. Матричный метод получения полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2024. № 3(61). С. 92-116. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2024.61.3.008. EDN: OHIGUU.

Автор(ы)

Захаров В.Г. — Институт механики сплошных сред УрО РАНORCIDeLibrary

Название статьи

Матричный метод получения полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами

Название (англ.): Matrix method of polynomial solutions to constant coefficient PDE’s

Индекс(ы) УДК

517.956

DOI

10.37972/chgpu.2024.61.3.008

EDN

OHIGUU

Ключевые слова

системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных; дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами; неоднородные дифференциальные уравнения; полиномиальное решение; экспоненциальное решение; нульпространство матрицы

Аннотация

Разрабатывается матричный метод для конструктивного определения полиномиальных решений линейных дифференциальных уравнений в частных производных (ДУЧП) с постоянными коэффициентами. Отметим, что наш метод применим также, если полиномы, которые индуцируют ДУЧП, имеют постоянные слагаемые (аналогично уравнению Гельмгольца), и, следовательно, такие ДУЧП не могут иметь чисто полиномиальных решений. В этом случае разрабатываемый матричный метод обеспечивает полиномиальными решениями, умноженными на экспоненты. Более того, метод позволяет найти полиномиальное (умноженные на экспоненту) решение ДУЧП с полиномиальной (умноженной на экспоненту) правой частью. Также метод сокращает затраты на построение полиномиального (умноженного на экспоненциальное) решение ДУЧП для определения нулевого пространства дифференциального оператора алгебраической блочно-матричной линейной системы (с числовыми записями). Кроме того, используя матричный подход, можно исследовать некоторые алгебраический свойства, такие как размерность и базис пространства полиномиальных решений (в общем случае, умноженных на экспоненты). В частности, для пространства полиномиальных решений мы можем решить задачу с точностью до некоторой сколь угодно большой степени. В частности, мы обобщаем задачу о бесконечной степени полиномиальных решений многочлена ДУЧП на экспоненциальный случай. Более того, ДУЧП может содержать ненулевую правую часть многочлена (умноженную на экспоненту). Рассматриваются некоторые примеры полиномиальных решений (в общем случае умноженных на экспоненты) уравнений Лапласа, Гельмгольца и Пуассона.

Даты

Поступила: 10.09.2024; Принята: 29.11.2024; Опубликована: 24.12.2024

Страницы

92-116

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Abramov S., Petkov˘sek M. On polynomial solutions of linear partial differential and (q-)diference equations // Computer Algebra in Scientific Computing. 14th International workshop LNCS 7442. 2012. P. 1-11.  DOI: 10.1007/978-3-642-32973-9_1
2. Horva's J. Basic sets of polynomial solutions for partial differential equations // Proc. Amer. Math. Soc. 1958. Vol. 9. P. 569-575.  DOI: 10.1090/S0002-9939-1958-0103330-1
3. Karachik V.V. Polynomial solutions to the systems of partial differential equations with constant coefficients. // Yokohama Math. J. 2000. Vol. 47. P. 121-142. EDN: UHFDJZ
4. Pedersen P. A basis for polynomial solutions to systems of linear constant coefficient PDE's. // Adv. Math. 1996. Vol. 117. P. 157-163.  DOI: 10.1006/aima.1996.0005
5. Reznick B. Homogeneous polynomial solutions to constant coefficient PDE's. // Adv. Math. 1996. Vol. 117. P. 179-192.  DOI: 10.1006/aima.1996.0007
6. Smith S.P. Polynomial solutions to constant coefficient differential equations. // Trans. Amer. Math. Soc. 1992. Vol. 329. P. 551-569.  DOI: 10.1090/S0002-9947-1992-1013339-6
7. de Boor C. The polynomials in the linear span of integer translates of a compactly supported function // Constr. Approx. 1987. Vol. 3. P. 199-208.  DOI: 10.1007/bf01890564 EDN: MMAUUL
8. Dahmen W., Micchelli Ch. Translates of multivariate splines. // Linear Algebra Appl. 1983. Vol. 52. P. 217-234.  DOI: 10.1016/0024-3795(83)90015-0
9. Zakharov V.G. Reproducing solutions to PDE's by scaling functions. // Int. J. Wavelets Multiresolut. Inf. Process. 2020. Vol. 3. P. 2050017.  DOI: 10.1142/S0219691320500174 EDN: FMFJNY
10. Гельфанд И.М. и Шилов Г.Е. Обобщенные функции. Свойства и операторы. AMS Chelsea Publishing, 2016. Vol. 1.
11. Колмогоров С.В., Фомин А.Н. Элементы теории функций и функционального анадиза. New York: Dover Books, 1957.

1. Abramov S., Petkovšek M. On polynomial solutions of linear partial differential and (q-)difference equations. Computer Algebra in Scientific Computing: 14th International Workshop, LNCS 7442, 2012, pp. 1–11. DOI: 10.1007/978-3-642-32973-9_1.
2. Horva's J. Basic sets of polynomial solutions for partial differential equations. Proceedings of the American Mathematical Society, 1958, vol. 9, pp. 569–575. DOI: 10.1090/S0002-9939-1958-0103330-1.
3. Karachik V.V. Polynomial solutions to systems of partial differential equations with constant coefficients. Yokohama Mathematical Journal, 2000, vol. 47, pp. 121–142. EDN: UHFDJZ.
4. Pedersen P. A basis for polynomial solutions to systems of linear constant-coefficient PDEs. Advances in Mathematics, 1996, vol. 117, pp. 157–163. DOI: 10.1006/aima.1996.0005.
5. Reznick B. Homogeneous polynomial solutions to constant-coefficient PDEs. Advances in Mathematics, 1996, vol. 117, pp. 179–192. DOI: 10.1006/aima.1996.0007.
6. Smith S.P. Polynomial solutions to constant-coefficient differential equations. Transactions of the American Mathematical Society, 1992, vol. 329, pp. 551–569. DOI: 10.1090/S0002-9947-1992-1013339-6.
7. De Boor C. The polynomials in the linear span of integer translates of a compactly supported function. Constructive Approximation, 1987, vol. 3, pp. 199–208. DOI: 10.1007/BF01890564. EDN: MMAUUL.
8. Dahmen W., Micchelli Ch. Translates of multivariate splines. Linear Algebra and Its Applications, 1983, vol. 52, pp. 217–234. DOI: 10.1016/0024-3795(83)90015-0.
9. Zakharov V.G. Reproducing solutions to PDEs by scaling functions. International Journal of Wavelets, Multiresolution and Information Processing, 2020, vol. 3, article 2050017. DOI: 10.1142/S0219691320500174. EDN: FMFJNY.
10. Gelfand I.M., Shilov G.E. Generalized Functions. Vol. 1. Properties and Operations. AMS Chelsea Publishing, 2016. (Russian transl.).
11. Kolmogorov S.V., Fomin A.N. Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis. New York, Dover Books, 1957.

Авторские права и лицензия

© 2024 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.