Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Об одном алгоритме аппроксимации энергетической формы гемитропного микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2025. № 2(64). С. 282-300. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2025.64.2.015. EDN: SJOURE.

Автор(ы)

Мурашкин Е.В. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Радаев Ю.Н. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Название статьи

Об одном алгоритме аппроксимации энергетической формы гемитропного микрополярного тела

Название (англ.): On an algorithm for approximating energy form of a hemitropic micropolar solid

Индекс(ы) УДК

539.319

DOI

10.37972/chgpu.2025.64.2.015

EDN

SJOURE

Ключевые слова

наномасштаб; микромасштаб; энергетическая форма; целочисленный рациональный алгебраический инвариант; неприводимая система инвариантов; кубическая аппроксимация; гемитропное микрополярное упругое тело

Аннотация

В настоящем исследовании предлагается алгоритм получения аппроксимации пятого порядка потенциала силовых и моментных напряжений гемитропного микрополярного упругого тела, учитывающего (кроме базовой квадлатичной аппроксимации) поправки вплоть до пятого алгебраического порядка, при систематическом использовании теории алгебраических инвариантов. С этой целью обсуждается полный перечень неприводимых инвариантов для системы двух асимметричных тензоров второго ранга в форме инвариантных следов. В результате предложен исходный набор из 86 инвариантных следов, состоящий из 8 индивидуальных инвариантов, 17 парных, 44 инвариантных троек и 17 инвариантных четверок. Здесь классификация проведена по количеству тензорных литер (максимальное число литер равно 4). Максимальная степень исходных инваринатов равна 6. Из 86 элементов затем отфильтрованы 63 следа по правилу возрастания алгебраических степеней инвариантов: 2 линейных инварианта, 6 квадратичных, 12 кубических, 19 четвертой степени, 24 инварианта пятой степени. Предложена схема построения инвариантов пятой степени, разбитых для удобства по семи группам, на основе правил: произведения линейных инвариантов между собой, попарные произведения квадратичных и кубических инвариантов между собой, попарные произведения инвариантов первой и четвертой степени, произведения линейных и кубических инвариантов, произведения линейных, возведенных в куб, и квадратичных инвариантов, произведения линейных и квадратов квадратичных инвариантов, исходные инварианты пятой степени. Таким образом, гемитропный микрополярный потенциал определяется с помощью 366 механических модулей. Получены определяющие уравнения для силовых и моментных напряжений, включающие поправки второй, третьей и четвертой алгебраической степени, справедливые в произвольной криволинейной системе координат.

Финансирование

Название программы финансирования: Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации 124012500437-9).. Номер программы финансирования: 124012500437-9. Организация, предоставившая финансирование: Государственное задание.

Даты

Поступила: 12.01.2025; Принята: 24.02.2025; Опубликована: 19.12.2025

Страницы

282-300

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. - М., Л.: ГИТТЛ, 1948. - 408 с. - [Gurevich G. B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Gr¨oningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.].
2. Спенсер Э. Теория инвариантов. - Мир, 1974.
3. Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. - Санкт-Петербург: Издво политехн. ун-та, 2012.  ISBN: 978-5-7422-3248-3 EDN: QJZXJR
4. Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. - Онти. Глав. ред. техн.-теоретич. лит-ры, 1937.
5. Spencer A., Rivlin R. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: part I // Archive for rational mechanics and analysis. - 1962. - Т. 9. - С. 45-63.  DOI: 10.1007/bf00253332 EDN: GVUVPP
6. Spencer A. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: part II // Archive for rational mechanics and analysis. - 1965. - Т. 18, № 1. - С. 51-82.  DOI: 10.1007/bf00253982 EDN: LEYJBJ
7. Cosserat E. M. P., Cosserat F. Th'eorie des corps d'eformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - VI+226.
8. G unther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums // Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. - 1958. - Т. 10. - С. 195-213.
9. Kessel S. Lineare Elastizit¨atstheorie des anisotropen Cosserat-kontinuums // Abhandlungen der Braunschweig. Wiss. Ges. - 1964. - Т. 16. - С. 1-22.
10. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Ko¨rper // Acta¨ Mechanica. - 1966. - Т. 2. - С. 48-69. -  DOI: 10.1007/BF01176729 EDN: RRUNTI
11. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany) 1964. - Springer. 1966. - С. 153-158. - \_16.  DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5
12. Neuber H. On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua // Mechanics of Generalized Continua / под ред. E. Kr¨oner. - Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1968. - С. 109-113.
13. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Berlin: Springer. - Berlin: Springer Science & Business Media, 1972.
14. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum // Acta Mechanica. - 1974. - Т. 20. - С. 105-131.  DOI: 10.1007/bf01374965 EDN: DHXIWG
15. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. - Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1986. - viii+383.
16. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. - Berlin: Springer Science & Business Media, 1986. - xv+345. - (Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics).
17. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки. - 2018. - Т. 22, вып. 3. - С. 504-517. -  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
18. Радаев Ю., Мурашкин Е. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. - 2020. - Т. 82, № 4. - С. 399-412. -  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
19. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Theory of Poisson's ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2024. - Т. 45, № 5. - С. 2378-2390. - 10.1134/ s1995080224602480.  DOI: 10.1134/s1995080224602480 EDN: ASGCQB
20. Murashkin E. V., Radayev Y. N. О квадратичных поправках определяющих уравнений для гемитропного микрополярного упругого тела // Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.] - 2025. - Т. 29, № 2. - С. 207-219. -  DOI: 10.14498/vsgtu2144 EDN: YHPHPY
21. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О квадратичных поправках определяющих уравнений для гемитропного микрополярного упругого тела // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. - Самара, 2025. - Т. 29, № 2. - С. 274-293. -  DOI: 10.14498/vsgtu2144 EDN: DZUMDJ
22. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Heat Conduction of Micropolar Solids Sensitive to Mirror Reflections of Three-Dimensional Space // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. - 2023. - Т. 165, № 4. - С. 389-403. -  DOI: 10.26907/2541-7746.2023.4.389-403 EDN: HTQAHJ
23. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids // Mechanics of Solids. - United States, 2023. - Т. 58, № 9. - С. 3111-3119. -  DOI: 10.3103/S0025654423700255 EDN: WBUGBA
24. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity // Mechanics of Solids. - United States, 2024. - Т. 59, № 1. - С. 555-580. -  DOI: 10.1134/s0025654424700274 EDN: GBHEKM
25. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. - 2023. - Т. 58, № 3. - С. 802-813. -  DOI: 10.3103/s0025654423700127 EDN: CISJLW
26. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 3(57). - С. 112-128. -  DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010 EDN: RQUKBG
27. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Мультивесовая термомеханика гемитропных микрополярных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 4(58). - С. 86-120.  DOI: 10.37972/chgpu.2023.58.4.010 EDN: ZUIUPG
28. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2022. - 4(54). - С. 108-115. - 10.37972/ chgpu.2022.54.4.009.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009 EDN: DTZTJY
29. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2022. - 3(53). - С. 86-100. -  DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010 EDN: YOEHQV
30. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 1(55). - С. 110-121. -  DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012 EDN: JXXIAX
31. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2023. - Т. 44, № 6. - С. 2440-2449. - 10.1134/ s1995080223060392.  DOI: 10.1134/s1995080223060392 EDN: PINYDI
32. Krylova E. Y., Murashkin E. V., Radaev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic, and ultraisotropic micropolar elastic solids // Mechanics of Solids. - United States, 2024. - Т. 59, № 3. - С. 1311-1320. - 10.1134/ s0025654424603719.  DOI: 10.1134/s0025654424603719 EDN: JQCHME
33. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Cubic Approximation of Stress Potential for a Hemitropic Micropolar Elastic Solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2025. - Т. 46, № 5. - С. 2391-2400. - 10.1134/ S1995080225606514.  DOI: 10.1134/S1995080225606514 EDN: UUSATV

1. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 1948. 408 p. [Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.]. (In Russian).
2. Spencer A.J.M. Theory of Invariants. Moscow, Mir Publ., 1974. (Russian transl.).
3. Zhilin P.A. Rational Mechanics of Continuous Media. St. Petersburg, Polytechnic University Publ., 2012. ISBN: 978-5-7422-3248-3. EDN: QJZXJR. (In Russian).
4. Sushkevich A.K. Foundations of Higher Algebra. ONTI Publ., Main Editorial Office of Technical and Theoretical Literature, 1937. (In Russian).
5. Spencer A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part I. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 9, pp. 45–63. DOI: 10.1007/BF00253332. EDN: GVUVPP.
6. Spencer A.J.M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part II. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1965, vol. 18, no. 1, pp. 51–82. DOI: 10.1007/BF00253982. EDN: LEYJBJ.
7. Cosserat E.M.P., Cosserat F. Theory of Deformable Bodies. Paris, A. Hermann et fils, 1909. VI+226 p. (In French).
8. Günther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, 1958, vol. 10, pp. 195–213. (In German).
9. Kessel S. Lineare Elastizitätstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, 1964, vol. 16, pp. 1–22. (In German).
10. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper. Acta Mechanica, 1966, vol. 2, pp. 48–69. DOI: 10.1007/BF01176729. EDN: RRUNTI. (In German).
11. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany), 1964. Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5_16.
12. Neuber H. On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua. Mechanics of Generalized Continua. Ed. by E. Kröner. Berlin, Heidelberg, Springer Berlin Heidelberg, 1968, pp. 109–113.
13. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin, Springer Science & Business Media, 1972.
14. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum. Acta Mechanica, 1974, vol. 20, pp. 105–131. DOI: 10.1007/BF01374965. EDN: DHXIWG.
15. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt, Pergamon Press, 1986. viii+383 p.
16. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin, Springer Science & Business Media, 1986. xv+345 p.
17. Radaev Yu.N. Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635. EDN: YOYJQD. (In Russian).
18. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. EDN: TODIFV. (In Russian).
19. Murashkin E.V., Radayev Y.N. Theory of Poisson's ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2024, vol. 45, no. 5, pp. 2378–2390. DOI: 10.1134/S1995080224602480. EDN: ASGCQB.
20. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On quadratic corrections to constitutive equations for a hemitropic micropolar elastic solid. Vestn. Samar. Gos. Tekhn. Univ., Ser. Fiz.-Mat. Nauki [J. Samara State Tech. Univ., Ser. Phys. Math. Sci.], 2025, vol. 29, no. 2, pp. 207–219. DOI: 10.14498/vsgtu2144. EDN: YHPHPY.
21. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On quadratic corrections to constitutive equations for a hemitropic micropolar elastic solid. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2025, vol. 29, no. 2, pp. 274–293. DOI: 10.14498/vsgtu2144. EDN: DZUMDJ. (In Russian).
22. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 4, pp. 389–403. DOI: 10.26907/2541-7746.2023.4.389-403. EDN: HTQAHJ.
23. Murashkin E.V., Radayev Y.N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 9, pp. 3111–3119. DOI: 10.3103/S0025654423700255. EDN: WBUGBA.
24. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity. Mechanics of Solids, 2024, vol. 59, no. 1, pp. 555–580. DOI: 10.1134/S0025654424700274. EDN: GBHEKM.
25. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813. DOI: 10.3103/S0025654423700127. EDN: CISJLW.
26. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On polyvariance of the basic equations of coupled thermoelasticity of a micropolar body. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 3(57), pp. 112–128. DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010. EDN: RQUKBG. (In Russian).
27. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Multiweight thermomechanics of hemitropic micropolar bodies. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 4(58), pp. 86–120. DOI: 10.37972/chgpu.2023.58.4.010. EDN: ZUIUPG. (In Russian).
28. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Reduction of natural forms of hemitropic energy potentials to conventional forms. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 4(54), pp. 108–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009. EDN: DTZTJY. (In Russian).
29. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On two basic natural forms of the potential of asymmetric force and couple stress tensors in mechanics of hemitropic bodies. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 3(53), pp. 86–100. DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010. EDN: YOEHQV. (In Russian).
30. Murashkin E.V. On the relation between micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 1(55), pp. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012. EDN: JXXIAX. (In Russian).
31. Murashkin E.V., Radayev Y.N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449. DOI: 10.1134/S1995080223060392. EDN: PINYDI.
32. Krylova E.Yu., Murashkin E.V., Radaev Y.N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic, and ultraisotropic micropolar elastic solids. Mechanics of Solids, 2024, vol. 59, no. 3, pp. 1311–1320. DOI: 10.1134/S0025654424603719. EDN: JQCHME.
33. Murashkin E.V., Radayev Y.N. Cubic approximation of stress potential for a hemitropic micropolar elastic solid. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2025, vol. 46, no. 5, pp. 2391–2400. DOI: 10.1134/S1995080225606514. EDN: UUSATV.

Авторские права и лицензия

© 2025 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.