Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Системы целых рациональных гемитропных инвариантов в механике микрополярного континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2025. № 3(65). С. 152-170. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2025.65.3.008. EDN: VBHKSU.

Автор(ы)

Мурашкин Е.В. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Радаев Ю.Н. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Название статьи

Системы целых рациональных гемитропных инвариантов в механике микрополярного континуума

Название (англ.): Systems of integer rational hemitropic invariants in micropolar continuum mechanics

Индекс(ы) УДК

539.319

DOI

10.37972/chgpu.2025.65.3.008

EDN

VBHKSU

Ключевые слова

наномасштаб; микромасштаб; энергетическая форма; целочисленный рациональный алгебраический инвариант; неприводимая система инвариантов; кубическая аппроксимация; гемитропное микрополярное упругое тело

Аннотация

В работе обсуждаются вопросы применения теории рациональных инвариантов для построения кубических аппроксимаций энергетических форм для потенциалов силовых и моментных напряжений гемитропных микрополярных упругих тел. Для построения таких потенциалов наиболее подходит метод А-представлений, позволяющий без труда получить аппроксимацию заданной степени в виде полиномиальной линейной комбинации рациональных инвариантов относительно гемитропной группы отображений трехмерного пространства. В рамках настоящего исследования анализируется полный неприводимый набор из 86 индивидуальных и совместных гемитропных целых рациональных алгебраических инвариантов для системы двух симметричных и двух антисимметричных тензоров второго ранга. Полученный набор инвариантов затем используется для построения кубической энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела и указания полного набора из 37 определяющих постоянных. Получены вспомогательные формулы для вывода определяющих уравнений микрополярной упругости.

Финансирование

Название программы финансирования: Работа выполнена по теме государственного задания (№ госрегистрации 124012500437-9).. Номер программы финансирования: 124012500437-9. Организация, предоставившая финансирование: Государственное задание.

Даты

Поступила: 12.01.2025; Принята: 24.05.2025; Опубликована: 24.12.2025

Страницы

152-170

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с. [Gurevich G. B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Gro¨ningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.].
2. Спенсер Э. Теория инвариантов. Мир, 1974.
3. Жилин П. А. Рациональная механика сплошных сред. Санкт-Петербург: Изд-во политехн. ун-та, 2012.  ISBN: 978-5-7422-3248-3 EDN: QJZXJR
4. Сушкевич А. К. Основы высшей алгебры. Онти. Глав. ред. техн.-теоретич. лит-ры, 1937.
5. Spencer AJM, Rivlin RS. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: part I // Archive for rational mechanics and analysis. 1962. Vol. 9. P. 45-63.  DOI: 10.1007/bf00253332 EDN: GVUVPP
6. Spencer AJM. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: part II // Archive for rational mechanics and analysis. 1965. Vol. 18, no. 1. P. 51-82.  DOI: 10.1007/bf00253982 EDN: LEYJBJ
7. Cosserat Eug'ene Maurice Pierre, Cosserat Franc¸ois. Th'eorie des corps d'eformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909. VI+226 p.
8. G unther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums // Abh. Braunschweig. Wiss. Ges. 1958. Vol. 10. P. 195-213.
9. Kessel Siegfried. Lineare Elastizita¨tstheorie des anisotropen Cosserat-kontinuums // Abhandlungen der Braunschweig. Wiss. Ges. 1964. Vol. 16. P. 1-22.
10. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-K¨orper¨ // Acta Mechanica. 1966. Vol. 2. P. 48-69.  DOI: 10.1007/BF01176729 EDN: RRUNTI
11. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany) 1964 / Springer. 1966. P. 153-158.  DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5_16
12. Neuber H. On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua // Mechanics of Generalized Continua / Ed. by Ekkehart Kro¨ner. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1968. P. 109-113.
13. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Berlin: Springer. Berlin: Springer Science & Business Media, 1972.
14. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum // Acta Mechanica. 1974. Vol. 20. P. 105-131.  DOI: 10.1007/bf01374965 EDN: DHXIWG
15. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1986. viii+383 p.
16. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin: Springer Science & Business Media, 1986. xv+345 p.
17. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22. С. 504-517.  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
18. Радаев Ю.Н., Мурашкин Е.В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Vol. 82, no. 4. P. 399-412.  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
19. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Heat Conduction of Micropolar Solids Sensitive to Mirror Reflections of Three-Dimensional Space // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki. 2023. Vol. 165, no. 4. P. 389-403.  DOI: 10.26907/2541-7746.2023.4.389-403 EDN: HTQAHJ
20. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids // Mechanics of Solids. 2023. Vol. 58, no. 9. P. 3111-3119.  DOI: 10.3103/S0025654423700255 EDN: WBUGBA
21. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity // Mechanics of Solids. 2024. Vol. 59, no. 1. P. 555-580.  DOI: 10.1134/s0025654424700274 EDN: GBHEKM
22. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. 2023. Vol. 58, no. 3. P. 802-813.  DOI: 10.3103/s0025654423700127 EDN: CISJLW
23. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2023. № 3(57). С. 112-128.  DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010 EDN: RQUKBG
24. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Мультивесовая термомеханика гемитропных микрополярных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2023. № 4(58). С. 86-120.  DOI: 10.37972/chgpu.2023.58.4.010 EDN: ZUIUPG
25. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 4(54). С. 108-115.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009 EDN: DTZTJY
26. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 3(53). С. 86-100.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010 EDN: YOEHQV
27. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2023. № 1(55). С. 110-121.  DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012 EDN: JXXIAX
28. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity// Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. Vol. 44, no. 6. P. 2440-2449.  DOI: 10.1134/s1995080223060392 EDN: PINYDI
29. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Theory of Poisson's ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2024. Vol. 45, no. 5. P. 2378-2390.  DOI: 10.1134/s1995080224602480 EDN: ASGCQB
30. Krylova E. Yu, Murashkin E. V., Radaev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic, and ultraisotropic micropolar elastic solids // Mechanics of Solids. 2024. Vol. 59, no. 3. P. 1311-1320.  DOI: 10.1134/s0025654424603719 EDN: JQCHME

1. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 1948. 408 p. [Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.]. (In Russian).
2. Spencer A.J.M. Theory of Invariants. Moscow, Mir Publ., 1974. (Russian transl.).
3. Zhilin P.A. Rational Mechanics of Continuous Media. St. Petersburg, Polytechnic University Publ., 2012. ISBN: 978-5-7422-3248-3. EDN: QJZXJR. (In Russian).
4. Sushkevich A.K. Foundations of Higher Algebra. ONTI Publ., Main Editorial Office of Technical and Theoretical Literature, 1937. (In Russian).
5. Spencer A.J.M., Rivlin R.S. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part I. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1962, vol. 9, pp. 45–63. DOI: 10.1007/BF00253332. EDN: GVUVPP.
6. Spencer A.J.M. Isotropic integrity bases for vectors and second-order tensors: Part II. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 1965, vol. 18, no. 1, pp. 51–82. DOI: 10.1007/BF00253982. EDN: LEYJBJ.
7. Cosserat E.M.P., Cosserat F. Theory of Deformable Bodies. Paris, A. Hermann et fils, 1909. VI+226 p. (In French).
8. Günther W. Zur Statik und Kinematik des Cosseratschen Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, 1958, vol. 10, pp. 195–213. (In German).
9. Kessel S. Lineare Elastizitätstheorie des anisotropen Cosserat-Kontinuums. Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft, 1964, vol. 16, pp. 1–22. (In German).
10. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper. Acta Mechanica, 1966, vol. 2, pp. 48–69. DOI: 10.1007/BF01176729. EDN: RRUNTI. (In German).
11. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany), 1964. Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5_16.
12. Neuber H. On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua. Mechanics of Generalized Continua. Ed. by Ekkehart Kröner. Berlin, Heidelberg, Springer Berlin Heidelberg, 1968, pp. 109–113.
13. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin, Springer, Springer Science & Business Media, 1972.
14. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum. Acta Mechanica, 1974, vol. 20, pp. 105–131. DOI: 10.1007/BF01374965. EDN: DHXIWG.
15. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt, Pergamon Press, 1986. viii+383 p.
16. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin, Springer Science & Business Media, 1986. xv+345 p.
17. Radaev Yu.N. Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635. EDN: YOYJQD. (In Russian).
18. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. EDN: TODIFV. (In Russian).
19. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 4, pp. 389–403. DOI: 10.26907/2541-7746.2023.4.389-403. EDN: HTQAHJ.
20. Murashkin E.V., Radayev Y.N. Heat transfer in anisotropic micropolar solids. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 9, pp. 3111–3119. DOI: 10.3103/S0025654423700255. EDN: WBUGBA.
21. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On algebraic triple weights formulation of micropolar thermoelasticity. Mechanics of Solids, 2024, vol. 59, no. 1, pp. 555–580. DOI: 10.1134/S0025654424700274. EDN: GBHEKM.
22. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813. DOI: 10.3103/S0025654423700127. EDN: CISJLW.
23. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On polyvariance of the basic equations of coupled thermoelasticity of a micropolar body. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 3(57), pp. 112–128. DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010. EDN: RQUKBG. (In Russian).
24. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Multiweight thermomechanics of hemitropic micropolar bodies. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 4(58), pp. 86–120. DOI: 10.37972/chgpu.2023.58.4.010. EDN: ZUIUPG. (In Russian).
25. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Reduction of natural forms of hemitropic energy potentials to conventional forms. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 4(54), pp. 108–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009. EDN: DTZTJY. (In Russian).
26. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On two basic natural forms of the potential of asymmetric force and couple stress tensors in mechanics of hemitropic bodies. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 3(53), pp. 86–100. DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010. EDN: YOEHQV. (In Russian).
27. Murashkin E.V. On the relation between micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 1(55), pp. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012. EDN: JXXIAX. (In Russian).
28. Murashkin E.V., Radayev Y.N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449. DOI: 10.1134/S1995080223060392. EDN: PINYDI.
29. Murashkin E.V., Radayev Y.N. Theory of Poisson's ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2024, vol. 45, no. 5, pp. 2378–2390. DOI: 10.1134/S1995080224602480. EDN: ASGCQB.
30. Krylova E.Yu., Murashkin E.V., Radaev Y.N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic, and ultraisotropic micropolar elastic solids. Mechanics of Solids, 2024, vol. 59, no. 3, pp. 1311–1320. DOI: 10.1134/S0025654424603719. EDN: JQCHME.

Авторские права и лицензия

© 2025 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.