преобразование Бореля, целая функция, квазицелая функция.

Вводится класс W квазицелых функций и исследуются свойства преобразования Бореля в этом классе. Квазицелые функции экспоненциального типа впервые были рассмотрены А. Пфлюгером в 1935 г. [2]. Более поздние работы в этом направлении нам не известны. Выделение из класса целых функций экспоненциального типа подкласса W функций, суммируемых с квадратом на вещественной оси, позволило Пэли и Винеру получить фундаментальные результаты в теории интеграла Фурье, которые стали затем очень сильным инструментом в теории базиса функций [3]. Подкласс W для квазицелых функций экспоненциального типа вводится так же, как и для целых функций, т. е. к этому подклассу отнесены квазицелые функции, суммируемые с квадратом на вещественной оси. В теории целых функций экспоненциального типа целая функция представляется как преобразование Бореля от некоторой функции, определенной на комплексной плоскости и аналитической вне некоторого круга, по которому берется соответствующий интеграл [3], [4]. Если целая функция принадлежит к классу W, то окружность, по которой происходит интегрирование, можно прижать к отрезку мнимой оси, совпадающему с диаметром окружности. При этом преобразование Бореля превращается в обычное преобразование Фурье на отрезке. Таким путем Пэли и Винеру удалось связать преобразование Фурье на отрезке с мощным аппаратом тео- рии аналитических функций. Для квазицелых функций экспоненциального типа возникает похожая ситуация. Но здесь, для того чтобы сделать функцию, ассоциированную по Борелю с рассматриваемой квазицелой функцией, однозначной, приходится рассматривать ее на римановой поверхности логарифма, где она аналитична вне некоторой спирали определенного радиуса. Если теперь потребовать, чтобы квазицелая функция была суммируемой с квад- ратом на вещественной оси, то (как и в теории Пэли и Винера) спираль можно прижать к бесконечной системе отрезков, расположенных на мнимой оси на листах римановой поверхности логарифма один над другим. Следующий шаг в построении теории заключается в том, чтобы от римановой поверхности логарифма перейти к обычной комплексной плоскости с одним разрезом на мнимой оси (как в теории Пэли и Винера) вне которого функция, ассоциированная по Борелю с квазицелой функцией, аналитична. Тогда для обеспечения однозначности этой функции на рассматриваемой плоскости в ней нужно провести соответствующий разрез. Этот разрез, как правило, выбирается совпадающим либо с отрицательной, либо с положительной частью вещественной оси. Результаты Пэли-Винера получаются из теории как частный случай.

1. Коваленко Михаил Денисович, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук, г. Москва e-mail: kov08@inbox.ru

2. Меньшова Ирина Владимировна, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт теории прогноза землетрясений и математической геофизики Российской академии наук, г. Москва e-mail: menshovairina@yandex.ru