Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Система определяющих неравенств в механике линейных анизотропных тел Гука // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. № 2(68). С. 32-49. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2026.68.2.013. EDN: CCKYIG.

Автор(ы)

Мурашкин Е. В. — Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Радаев Ю. Н. — Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Название статьи

Система определяющих неравенств в механике линейных анизотропных тел Гука

Название (англ.): Hooke’s system of constitutive inequalities in the mechanics of linear anisotropic bodies

Индекс(ы) УДК

—

DOI

10.37972/chgpu.2026.68.2.013

EDN

CCKYIG

Ключевые слова

энергия деформации; внутренняя энергия; тело Гука; анизотропия; упругость; устойчивость равновесия; теория упругости Гука–Навье; критерий Сильвестра

Аннотация

Статья посвящена исследованию вопросов устойчивости положений равновесия линейных анизотропных тел Гука. Энергия деформации таких тел является квадратичной формой от симметричного тензора деформаций. Энергетическая форма линейного анизотропного тела, в силу свойств симметрии определяющего тензора четвертого ранга, характеризуется 21-м изоэнтропийным механическим модулем. Для удобства оперирования с указанной квадратичной формой вводятся формальные переменные. Получены соотношения, связывающие компоненты определяющего тензора анизотропного тела Гука с элементами матрицы квадратичной формы. Условия устойчивого равновесия выражаются через условия положительной определенности квадратичной формы. Наиболее просто такие условия могут быть получены с помощью критерия Сильвестра, что подразумевает вычисление угловых миноров матрицы квадратичной формы. Трудности вычисления миноров пятого и шестого порядков преодолеваются с помощью системы символьных вычислений Wolfram Mathematica. Получены 6 односторонних ограничений (в форме неравенств), накладываемых на упругие модули, гарантирующих устойчивость равновесия линейного анизотропного тела Гука. До настоящего времени приведенные в статье результаты не могли быть найдены. Именно оперирование с данными с помощью систем символьных вычислений позволило, в конце концов, достигнуть прогресса в этом вопросе.

Финансирование

Название программы финансирования: Работа выполнена по теме государственного задания (номер госрегистрации 124013000674-0).. Номер программы финансирования: 124013000674-0. Организация, предоставившая финансирование: Министерство науки и высшего образования Российской Федерации.

Даты

Поступила: 12.06.2026; Принята: 24.08.2026; Опубликована: 29.10.2026

Страницы

32-49

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Cosserat E. M. P., Cosserat F. Théorie des corps déformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909. VI+226.
2. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1986. viii+383.
3. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Основные уравнения теории упругости сред с вращательным взаимодействием частиц // Физика твердого тела. 1960. Т. 2, № 7. С. 1399–1409.
4. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Континуальная теория асимметрической упругости. Учет «внутреннего» вращения // Физика твердого тела. 1960. Т. 5, № 9. С. 2591–2598.
5. Аэро Э. Л., Кувшинский Е. В. Континуальная теория асимметричной упругости. Равновесие изотропного тела // Физика твердого тела. 1960. Т. 6, № 9. С. 2689–2699.
6. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper // Acta Mechanica. 1966. Vol. 2. P. 48–69. DOI: 10.1007/BF01176729.
7. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany) 1964. Springer. 1966. P. 153–158. DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5\_16.
8. Neuber H. On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua // Mechanics of Generalized Continua / ed. by E. Kröner. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1968. P. 109–113.
9. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin: Springer Science & Business Media, 1986. xv+345. (Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics).
10. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22, вып. 3. С. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635.
11. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. 3(53). С. 86–100. DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010.
12. Altenbach H., Maugin G. A., Erofeev V. ( Mechanics of generalized continua. Berlin: Springer, 2011. DOI: 10.1007/978-3-642-19219-7.
13. Maugin G. A. Non-classical continuum mechanics. Singapore: Springer Verlag, 2017. DOI: 10.1007/978-981-10-2434-4.
14. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Диагонализация энергетической формы гемитропного тела и система определяющих неравенств. Метод отделения квадратов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия «Физико-математические науки». 2026. Т. 30, № 2. С. 288–307.
15. Мурашкин Е., Радаев Ю. Факторизация характеристического полинома энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. 1(67). С. 113–125. DOI: 10.37972/chgpu.2026.67.1.008.
16. Мурашкин Е., Радаев Ю. Факторизация характеристического полинома энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. 1(67). С. 159–179. DOI: 10.37972/chgpu.2026.67.1.021.
17. Wilkinson J. The algebraic eigenvalue problem. Т. 662. Oxford: Clarendon Press, 1965.
18. Johnson C., Horn R. Matrix analysis. Cambridge: Cambridge university press, 1985.
19. Бахвалов Н. Численные методы (анализ, алгебра, дифференциальные уравнения). Москва: Наука, 1975.
20. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории линейных гемитропных микрополярных сред // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2020. № 4. С. 16–24. DOI: 10.37972/chgpu.2020.89.81.031.
21. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. 4(54). С. 108–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009.
22. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2023. 1(55). С. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012.
23. Krylova E. Y., Murashkin E. V., Radaev Y. N. The Nye cells and figures for athermic hemitropic, isotropic, and ultraisotropic micropolar elastic solids // Mechanics of Solids. United States, 2024. Vol. 59, no. 3. P. 1311–1320. DOI: 10.1134/s0025654424603719.
24. Nye J. F. Physical Properties of Crystals, their representation by tensors and matrices. Oxford: Clarendon Press, 1957. 322+xv.
25. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: наука, 1970. 720 с.
26. Радаев Ю., Мурашкин Е. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.

Авторские права и лицензия

© 2026 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.