Канду В. В., Круссер А. И., Шепелев А. С., Шитикова М. В. Анализ вынужденных нелинейных колебаний пластин на вязкоупругом основании Пастернака на основе модели Кельвина-Фойгта с дробными производными // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. № 2(68). С. 50-82. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2026.68.2.005. EDN: PLIBHT.

Автор(ы)

Канду В. В. — АО АтомэнергопроектORCIDeLibrary

Круссер А. И. — Национальный исследовательский Московский государственный строительный университетORCIDeLibrary

Шепелев А. С. — Национальный исследовательский Московский государственный строительный университетORCIDeLibrary

Шитикова М. В. — Национальный исследовательский Московский государственный строительный университетORCIDeLibrary

Название статьи

Анализ вынужденных нелинейных колебаний пластин на вязкоупругом основании Пастернака на основе модели Кельвина-Фойгта с дробными производными

Название (англ.): Analysis of nonlinear vibrations of plates on a viscoelastic Pasternak foundation using the fractional derivative Kelvin-Voigt rheological model

Индекс(ы) УДК

—

DOI

10.37972/chgpu.2026.68.2.005

EDN

PLIBHT

Ключевые слова

модель Кельвина-Фойгта с дробной производной; вынужденные нелинейные колебания пластины; вязкоупругое основание Пастернака; обобщенный метод многих временных масштабов

Аннотация

В настоящем исследовании рассматривается задача о нелинейных вынужденных колебаниях пластины на вязкоупругом основании Пастернака на основе реологической модели Кельвина-Фойгта с производной дробного порядка. Анализ проводится для случаев внутренних резонансов два-к-одному и один-к-одному при их наложении на внешний резонанс. Для построения аналитического решения разрешающих нелинейных дифференциальных уравнений движения пластины используется обобщенный метод многих временных масштабов, согласно которому происходит разложение обобщенных перемещений в ряд по малому параметру с помощью новых временных масштабов. Далее при использовании программной реализации метода Рунге-Кутта четвертого порядка получено численное решение уравнений для амплитуд и фаз колебаний с учетом начальных условий. В ходе численного анализа удалось выяснить, что параметры дробности окружающей среды и вязкоупругого основания оказывают ключевое влияние на демпфирующие процессы в системе. Дополнительно установлено, что учет параметров, характеризующих вязкоупругое основание, является обоснованным ввиду их значительного влияния на изменение амплитуд колебаний системы, что доказывает необходимость учета деформаций сдвига по модели Пастернака для корректного прогнозирования динамического отклика сложных механических систем.

Финансирование

Название программы финансирования: Данная работа была поддержана грантом 2026 года на проведение фундаментальных научных исследований (НИР/НИОКР) научными коллективами НИУ МГСУ, проект №06-482/130.. Номер программы финансирования: 06-482/130. Организация, предоставившая финансирование: Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет.

Даты

Поступила: 10.06.2026; Принята: 15.09.2026; Опубликована: 29.10.2026

Страницы

50-82

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Cai W. Fractional modeling of Pasternak-type viscoelastic foundation // Mechanics of Time-Dependent Materials. 2016. Vol. 21. P. 119–131. DOI: 10.1007/s11043-016-9321-0.
2. Shitikova M. V., Krusser A. I. Dynamic analysis of an elastic plate resting on a nonlinear fractional-order viscoelastic Pasternak foundation and subjected to moving load // Lecture Notes in Civil Engineering. 2022. Vol. 168. P. 13–24. DOI: 10.1007/978-3-030-91145-4_2.
3. Zhu H. H., Liu L., Ye X. Response of a loaded rectangular plate on fractional derivative viscoelastic foundation // Journal of Basic Science and Engineering. 2011. Vol. 19, no. 2. P. 271–278. DOI: 10.3969/j.issn.1005-0930.2011.02.011.
4. Zhang C. C., Zhu H. H., Shi B., Fatahi B. A long term evaluation of circular mat foundations on clay deposits using fractional derivatives // Computers and Geotechnics. 2018. Vol. 94. P. 72–82. DOI: 10.1016/j.compgeo.2017.08.018.
5. Praharaj R. K., Datta N. On the transient response of plates on fractionally damped viscoelastic foundation // Computational and Applied Mathematics. 2020. Vol. 39, no. 4. DOI: 10.1007/s40314-020-01285-6.
6. Шитикова М. В., Канду В. В. Анализ нелинейных колебаний упругой пластинки на вязкоупругом основании при наличии внутреннего резонанса один-к-одному // Известия вузов. Строительство. 2020. № 3. С. 5–22. DOI: 10.32683/0536-1052-2020-735-3-5-22.
7. Di Paola M. Visco-elastic behavior through fractional calculus: an easier method for best fitting experimental results // Mechanics of Materials. 2011. Vol. 43, no. 12. P. 799–806. DOI: 10.1016/j.mechmat.2011.08.016.
8. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for analysis of nonlinear damped vibrations of suspension bridges // Journal of Engineering Mechanics. 1998. Vol. 124. P. 1029–1036. DOI: 10.1061/(ASCE)0733-9399(1998)124:9(1029).
9. Lai J., Mao S., Qiu J., et al. Investigation progresses and applications of fractional derivative model in geotechnical engineering // Mathematical Problems in Engineering. 2016. Vol. 2016. P. 9183296. DOI: 10.1155/2016/9183296.
10. Shitikova M. V., Kandu V. V., Krusser A. I. On nonlinear vibrations of an elastic plate on a fractional viscoelastic foundation in a viscoelastic medium in the presence of the one-to-one internal resonance // Journal of Sound and Vibration. 2023. Vol. 549. P. 117564. DOI: 10.1016/j.jsv.2023.117564.
11. He M. M., Li N., Chen Y. S., Zhu C. H. Dynamic deformation behavior of rock based on fractional order calculus // Yantu Gongcheng Xuebao/Chinese Journal of Geotechnical Engineering. 2015. Vol. 37. P. 178–184. DOI: 10.11779/CJGE2015S1034.
12. Zhang Q., Zhang Q., Ji M. Dynamic Mechanical Properties of Soil Based on Fractional-Order Differential Theory // Soil Mechanics and Foundation Engineering. 2019. Vol. 55, no. 6. P. 366–373. DOI: 10.1007/s11204-019-09550-5.
13. Song P., Wei P., Zhou X. Vibration of rectangular plate on fractional order viscoelastic foundation subjected to standing and moving loads // Mechanics of Time-Dependent Materials. 2023. Vol. 28. P. 541–561. DOI: 10.1007/s11043-023-09590-3.
14. Tian D.-L., Zhou X.-P. The kinematic-constraint-inspired non-ordinary state-based peridynamics with fractional viscoelastic-viscoplastic constitutive model to simulating time-dependent deformation and failure of rocks // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 2024. Vol. 406. P. 116873. DOI: 10.1016/j.cma.2024.116873.
15. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Applications of fractional calculus to dynamic problems of linear and nonlinear hereditary mechanics of solids // Applied Mechanics Reviews. 1997. Vol. 50, no. 1. P. 15–67. DOI: 10.1115/1.3101682.
16. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Application of fractional calculus for dynamic problems of solid mechanics: novel trends and recent results // Applied Mechanics Reviews. 2010. Vol. 63, no. 1. P. 1–52. DOI: 10.1115/1.4000563.
17. Kou L., Xu J., Wang B. Response for a Loaded Rectangular Plate on Viscoelastic Foundation with Fractional Derivative Model // Proceedings of the GeoShanghai 2018 International Conference: Fundamentals of Soil Behaviors. 2018. P. 166–176. DOI: 10.1007/978-981-13-0125-4_19.
18. Zatar W., Xiao F., Chen G. S., Hulsey J. L. Nonlinear vibration of a bridge with fractional-order viscoelastic constitutive relation // Journal of Low Frequency Noise, Vibration and Active Control. 2020. Vol. 40, no. 3. P. 1392–1400. DOI: 10.1177/1461348420979478.
19. Wang L., Sun D., Li P., Xie Y. Dynamic responses of plate on elastic foundation with fractional derivative model under moving load // Computers and Geotechnics. 2017. Vol. 83. P. 30–39. DOI: 10.1016/j.compgeo.2016.10.020.
20. Круссер А. И., Шитикова М. В. Численный анализ нелинейных колебаний пластины на вязкоупругом основании под действием подвижной осциллирующей нагрузки на основе моделей с дробными производными // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 26, № 4. С. 694–714. DOI: 10.14498/vsgtu1957.
21. Amabili M. Nonlinear vibrations of rectangular plates with different boundary conditions: Theory and experiments // Computers and Structures. 2004. Vol. 82, no. 31/32. P. 257–267. DOI: 10.1016/j.compstruc.2004.03.077.
22. Leissa A. Vibration of Plates. Washington, D.C.: Scientific, Technical Information Division, Office of Technology Utilization, NASA, 1969. 353 p.
23. Shitikova M. V. The fractional derivative expansion method in nonlinear dynamic analysis of structures // Nonlinear Dynamics. 2020. Vol. 99. P. 109–122. DOI: 10.1007/s11071-019-05055-w.
24. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. Free damped nonlinear vibrations of a viscoelastic plate under the two-to-one internal resonance // Materials Science Forum. 2003. Vol. 440/441. P. 29–36. DOI: 10.4028/www.scientific.net/MSF.440-441.29.
25. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V., Ngenzi J. C. A New Approach for Studying Non-linear Dynamic Response of a Thin Plate with Internal Resonance in a Fractional Viscoelastic Medium // Shock and Vibration. 2015. Vol. 2015. P. 1–29. DOI: 10.1155/2015/795056.
26. Shitikova M. V., Rossikhin Y. A., Kandu V. Interaction of internal and external resonances during force driven vibrations of a nonlinear thin plate embedded into a fractional derivative medium // Procedia Engineering. Vol. 199. 2017. P. 832–837. DOI: 10.1016/j.proeng.2017.09.006.
27. Шитикова М. В., Канду В. В. Численный анализ вынужденных колебаний нелинейных пластинок в вязкоупругой среде при наличии внутреннего резонанса один к одному // Известия вузов. Строительство. 2018. № 12. С. 9–22. DOI: 10.32683/0536-1052-2018-720-12-9-22.
28. Шитикова М. В., Осипова Е. И. Анализ вынужденных колебаний нелинейной вязкоупругой пластинки с учетом сдвига и инерции вращения // Известия вузов. Строительство. 2024. № 1. С. 15–29. DOI: 10.32683/0536-1052-2024-781-1-15-29.
29. Найфэ А. Х. Методы возмущений. М.: Мир, 1976. 456 с.
30. Nayfeh A. H., Mook D. T. Nonlinear Oscillations. New York: Wiley, 1995. 704 p.
31. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. New approach for the analysis of damped vibrations of fractional oscillators // Shock and Vibration. 2009. Vol. 16, no. 4. P. 365–387. DOI: 10.3233/SAV-2009-0475.
32. Rossikhin Y. A., Shitikova M. V. On fallacies in the decision between the Caputo and Riemann-Liouville fractional derivatives for the analysis of the dynamic response of a nonlinear viscoelastic oscillator // Mechanics Research Communications. 2012. Vol. 45. P. 22–27. DOI: 10.1016/j.mechrescom.2012.07.001.
33. Shitikova M. V., Kandu V. V. Force driven nonlinear vibrations of a thin plate with 1:1 internal resonance in a fractional viscoelastic medium // IOP Conference Series: Materials Science and Engineering. 2019. Vol. 489. P. 012043. DOI: 10.1088/1757-899X/489/1/012043.

Авторские права и лицензия

© 2026 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.