Орлов В. Н. Сингулярная задача Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. № 2(68). С. 232-238. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2026.68.2.015. EDN: WPKHIC.

Автор(ы)

Орлов В. Н. — Московский государственный строительный университетORCIDeLibrary

Название статьи

Сингулярная задача Коши для нелинейного дифференциального уравнения дробного порядка

Название (англ.): Singular Cauchy problem for a nonlinear fractional differential equation

Индекс(ы) УДК

—

DOI

10.37972/chgpu.2026.68.2.015

EDN

WPKHIC

Ключевые слова

нелинейное дифференциальное уравнение; дробная производная; особая точка; аналитическое приближенное решение; априорная погрешность

Аннотация

Как показывают публикации, в различных областях задачи приводят к математическим моделям, основанным как на линейных [1,2], так и нелинейных [3-8] дифференциальных уравнениях. В случае нелинейных дифференциальных уравнений следует учитывать важный аспект нелинейности, наличие подвижных особых точек алгебраического типа у решения такого вида уравнений. Такие уравнения относятся к классу в общем случае не разрешимых в квадратурах. На данный момент, на основании публикаций, можно отметить два подхода в решении нелинейных дифференциальных уравнений. Первый подход связан с возможностью разрешить такие уравнения в квадратурах, если эти уравнения обладают свойством Пенлеве (наличие простых и кратных полюсов), что возможно лишь в частных случаях [9-19]. Второй подход связан с поиском аналитического приближенного решения нелинейных дифференциальных уравнений как обладающих свойством Пенлеве, так и не обладающих этим свойством (наличие критических полюсов) [20-28]. На основе исследования движения жидкости в трещиноватых коллекторах [30-32], дается постановка сингулярной задачи Коши для нелинейного дифференциального уравнения с дробной производной Герасимова – Капуто. Учитывая классификацию Фукса особых точек на неподвижные и подвижные [29], на первом этапе реализуется авторский метод [25] для неподвижной особой точки. Доказывается теорема существования и единственности решения в окрестности неподвижной особой точки. Получена априорная оценка погрешности аналитического приближенного решения и проведен численный эксперимент с графической интерпретацией.

Даты

Поступила: 10.04.2026; Принята: 07.09.2026; Опубликована: 29.10.2026

Страницы

232-238

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Колесников К. С. Курс теоретической механики. Москва: Издательство МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2005.
2. Буфетов А. И., Гончарук Н. Б., Ильяшенко Ю. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Москва: Издательство Попечительского совета механико-математического факультета МГУ, 2012. 120 с.
3. Lewis F. L. Optimal Control. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc., 2012. 540 p.
4. Матвеев Н. М. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. Санкт-Петербург: Издательство СПбГУ, 2008. 336 с.
5. Чудновский В. М., Холодкевич Е. Д. Теория сверхизлучательных лавин радиоволнового диапазона // Физика твердого тела. 1982. Т. 24, № 4. С. 1118–1123. EDN: SALUBA.
6. Hill J. M. Radial Deflections of Thin Precompressed Cylindrical Rubber Bush Mountings // International Journal of Solids and Structures. 1977. Vol. 13. P. 93–104. DOI: 10.1016/0020-7683(77)90125-1.
7. Ockendon J. R. Numerical and Analytical Solutions of Moving Boundary Problems // Proceedings of the Symposium on Moving Boundary Problems / ed. by D. G. Wilson, A. D. Solomon, P. T. Boggs. New York, 1978. P. 129–145.
8. Axford R. A. Non-Linear Thermal Instability Phenomena in Plates and Rods // A.S.M.E. Nuclear Engineering Division, Winter Annual Meeting (Michigan). 1973. P. 1–12.
9. Conte R., Musette M. The Painlevé Handbook. Dordrecht: Springer, 2008.
10. Filipuk G., Chichurin A. The Properties of Certain Linear and Nonlinear Differential Equations // Advances in Mechanics and Mathematics. Vol. 41. 2019. P. 193–200. DOI: 10.1007/978-3-030-02487-1_11.
11. Chichurin A., Shvychkina H. Computer Simulation of Two Chemostat Models for One Nutrient Resource // Mathematical Biosciences. 2016. Vol. 278. P. 30–36. DOI: 10.1016/j.mbs.2016.05.004. EDN: XNPVAR.
12. Evtushenko S. A Nonlinear System of Differential Equations in Supercritical Flow Spread Problem and Its Solution Technique // Axioms. 2023. Vol. 12. P. 11. DOI: 10.3390/axioms12010011. EDN: TWOEKT.
13. Dukhnovskii S. Global Existence Theorems of a Solution of the Cauchy Problem for Systems of the Kinetic Carleman and Godunov–Sultangazin Equations // Eurasian Mathematical Journal. 2021. Vol. 12. P. 97–102. DOI: 10.32523/2077-9879-2021-12-1-97-102. EDN: DHIPXA.
14. Dukhnovsky S. New Exact Solutions for the Time Fractional Broadwell System // Advanced Studies: Euro-Tbilisi Mathematical Journal. 2022. Vol. 15. P. 53–66. DOI: 10.32513/asetmj/19322008204. EDN: LWAYSI.
15. Dukhnovsky S. A Self-Similar Solution and the Tanh-Function Method for the Kinetic Carleman System // Buletinul Academiei de Ştiinţe a Republicii Moldova. Matematica. 2022. P. 99–110. DOI: 10.56415/basm.y2022.i1.p.99.
16. Чжан Б., Чэнь Я., Мартынов И. П. Первые интегралы и рациональные решения дифференциальных уравнений с подвижной особой линией // Проблемы физики, математики и техники. 2019. Т. 38, № 1. С. 72–77.
17. Martynov I. P., Chichurin A. V. On the Solution of the Chazy System of Equations // Nonlinear Oscillations. 2009. Vol. 12. P. 94–100. DOI: 10.1007/s11072-009-0062-8. EDN: XMCFBB.
18. Kudryashov N. A. Exact Solutions and Integrability of the Duffing–Van der Pol Equation // Regular and Chaotic Dynamics. 2018. Vol. 23, no. 4. P. 471–479. DOI: 10.1134/S156035471804007X. EDN: JTHNOE.
19. Kudryashov N. A. One Method for Finding Exact Solutions of Nonlinear Differential Equations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. 2012. Vol. 17, no. 6. P. 2248–2253. DOI: 10.1016/j.cnsns.2011.10.016. EDN: PDGRPN.
20. Orlov V., Chichurin A. On the Theory of Constructing a Numerical-Analytical Solution of a Cantilever Beam Bend Nonlinear Differential Equation of the First Order // Journal of Physics: Conference Series. 2020. Vol. 1425. P. 012129. DOI: 10.1088/1742-6596/1425/1/012129. EDN: UZCALP.
21. Orlov V., Gasanov M. Research of a Third-Order Nonlinear Differential Equation in the Vicinity of a Moving Singular Point for a Complex Plane // E3S Web of Conferences. 2021. Vol. 263. P. 03019. DOI: 10.1051/e3sconf/202126303019.EDN: IJRRSC.
22. Orlov V. N., Leont’eva T. Y. On the Expansion of the Domain for an Analytical Approximate Solution of a Class of Second-Order Nonlinear Differential Equations in the Complex Domain // Bulletin of Samara State Technical University. Series: Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24. P. 174–186. DOI: 10.14498/vsgtu1727. EDN: ZKDBOL.
23. Orlov V., Gasanov M. Analytic Approximate Solution in the Neighborhood of a Moving Singular Point of a Class of Nonlinear Equations // Axioms. 2022. Vol. 11. P. 637. DOI: 10.3390/axioms11110637. EDN: HNRIRZ.
24. Orlov V., Gasanov M. Technology for Obtaining the Approximate Value of Moving Singular Points for a Class of Nonlinear Differential Equations in a Complex Domain // Mathematics. 2022. Vol. 10. P. 3984. DOI: 10.3390/math10213984.EDN: JRWZHU.
25. Orlov V. N. Moving Singular Points and the Van der Pol Equation, as Well as the Uniqueness of Its Solution // Mathematics. 2023. Vol. 11. P. 873. DOI: 10.3390/math11040873. EDN: TWFIGO.
26. Leont’eva T. Y. Influence of Perturbation of Moving Singular Point on the Approximate Solution of a Nonlinear Second Order Differential Equation in the Complex Region // Bull. Yakovlev Chuvash State Pedagog. Univ. Ser. Mech. Limit State. 2015. Vol. 24. P. 109–118. (in Russian).
27. Pchelova A. Z., Kudryashova N. V. Existence Theorem for a Solution to a Third-Order Nonlinear Differential Equation with a Third-Degree Polynomial Right-Hand Side in the Domain of Analyticity // Proceedings of the All-Russian Scientific Conference “Mechanics of the Limit State and Related Matters”, Dedicated to the 85th Anniversary of Prof. D. D. Ivlev. Part 2 (Cheboksary, Russia, Sept. 15–18, 2015). P. 215–220.
28. Pchelova A. Z., Kolle K. V. Existence Theorem for a Solution to a Third-Order Nonlinear Differential Equation with a Third-Degree Polynomial Right-Hand Side in a Neighborhood of a Moving Singular Point // Proceedings of the All-Russian Scientific Conference “Mechanics of the Limit State and Related Matters”, Dedicated to the 85th Anniversary of Prof. D. D. Ivlev. Part 2 (Cheboksary, Russia, Sept. 15–18, 2015). P. 221–226.
29. Fuchs L. // Journal für die reine und angewandte Mathematik. 1873. Vol. 76. P. 177–213.
30. Шаймуратов Р. В. Гидродинамика нефтяного трещиноватого пласта. Москва: Недра, 1980. 223 с.
31. Наказная Л. Г. Фильтрация жидкости и газа в трещиноватых коллекторах. Москва: Недра, 1972. 183 с.
32. Aleroev T. S., Aleroeva H. T., Tang Y., Zhang S. Features of Seepage of a Liquid to a Chink in the Cracked Deformable Layer // International Journal of Modeling, Simulation, and Scientific Computing. 2010. Vol. 1, no. 3. P. 333–347. DOI: 10.1142/S1793962310000195. EDN: PFUXPL.

Авторские права и лицензия

© 2026 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.