Удаление сингулярности поля напряжений для проблемы Вилльямса (1952) на основе неевклидовой модели сплошной среды

—

сингулярные поля напряжений; функция напряжений Эйри; асимптотический метод Вилльямса; неевклидова модель

В механике сплошной среды хорошо известен факт существования сингулярных решений для компонент поля напряжений в задачах теории упругости о равновесии пластин с угловыми вырезами [1]. Используя функцию напряжений Эйри для плоских конфигураций, которая удовлетворяет однородному бигармоническому уравнению, Вилльямс построил решение, содержащее сингулярность для поля упругих напряжений. В [1] был предложен асимптотический метод для их исследования в окрестности сингулярности. С другой стороны, в физических теориях прочности [2] также рассматриваются сингулярности полей напряжений и предлагаются способы их удаления. Способы получения регулярных решений сингулярных задач представлены у отечественных и зарубежных исследователей (см., например, [3–5] и ссылки). Тем не менее, для сингулярности Вилльямса такого способа не указано в научной литературе, поэтому целью данной работы является восполнение данного пробела. В связи с изложенным выше возникает необходимость расширения классической теории. Общая идея состоит в отказе от классических условий совместности Сен-Венана, которые идентичны требованию обращения в нуль тензора Римана-Кристоффеля, выражающему условие, что внутренняя геометрия среды является евклидовой. Поэтому обобщение классической теории может быть выполнено на пути перехода к неевклидовой модели. В этом случае компоненты тензора Римана-Кристоффеля становятся дополнительными параметрами модели, характеризующими внутреннюю геометрию материала. В двумерном случае тензор Римана-Кристоффеля определяется единственной компонентой: скалярной кривизной (функция несовместности). При расширении классической теории функция напряжения Эйри удовлетворяет неоднородному бигармоническому уравнению. Показано, что структура полного поля внутренних напряжений складывается из классического поля упругих напряжений и неклассического поля напряжений, определяемого через функцию несовместности. В предположении квадратичной зависимости внутренней энергии среды от термодинамических переменных представлено уравнение для функции несовместности. В полярной системе координат построено решение для функции напряжений Эйри и показано, что поле полных напряжений не содержит сингулярности для всех углов выреза.

Поступила: 01.05.2026; Принята: 30.08.2026; Опубликована: 29.10.2026

252-256