Мурашкин Евгений Валерьевич, Радаев Юрий Николаевич Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2(52). С. 106-117. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.012. EDN: FQVGRK.

Автор(ы)

Мурашкин Евгений Валерьевич — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Радаев Юрий Николаевич — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Название статьи

Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории

Название (англ.): Covariantly constant tensors in Euclid spaces. Elements of the theory

Индекс(ы) УДК

539.374

DOI

10.37972/chgpu.2022.52.2.012

EDN

FQVGRK

Ключевые слова

псевдотензор; фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр; символ перестановки; ковариантная производная; градиент; неконвенционально изотропный тензор; полностью изотропный тензор; демитропный тензор; гемитропный тензор; полуизотропный тензор; конвенционально изотропный тензор; тензор с постоянными компонентами; определяющий псевдотензор; хиральная среда; микрополярный гемитропный континуум

Аннотация

В настоящей работе обсуждаются вопросы ковариантного постоянства тензоров и псевдотензоров (в том числе, двухточечных) произвольной валентности и веса в Евклидовом пространстве. Приводятся минимально необходимые сведения из алгебры и анализа псевдотензоров в пространствах Евклида. Выясняются общие условия ковариантного постоянства псевдотензоров. Рассматриваются примеры ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров из многомерной геометрии. Речь, в частности, идет о фундаментальном ориентирующем псевдоскаляре, целые степени которого удовлетворяет условию ковариантного постоянства. Обсуждаются свойства и способы координатного представления тензоров ковариантно постоянных тензоров ипсевдотензоров четвертого ранга. На основе неконвенционального определения полуизотропного тензора четвертого ранга приводится координатное представление в терминах дельт Кронекера и метрических тензоров. Устанавливаются условия ковариантного постоянства полуизотропных тензоров четвертого ранга.

Финансирование

Работа выполнена в рамках государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20120011690132-4) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований проекты № 20-01-00666.

Даты

Поступила: 20.06.2022; Принята: 10.10.2022; Опубликована: 09.12.2022

Страницы

106-117

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. EDN: RVXUAX
2. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с.
3. Synge J. L., Schild A. Tensor calculus. Toronto: Toronto University Press, 1949. Vol. 5. 334 p.
4. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1965. 434 p. [Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука. 1965. 456 с.].
5. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном обобщении алгебраической теории Гамильтона-Кэли // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 6. С. 130-138.  DOI: 10.31857/S0572329921060106 EDN: VGJNSG
6. Radayev Y. N., Murashkin E. V., Nesterov T. K. On covariant non-constancy of distortion and inversed distortion tensors // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2022. Vol. 26, no. 1. P. 36-47.  DOI: 10.14498/vsgtu1891 EDN: EWDQGG
7. Sokolnikoff I. Tensor Analysis: Theoryand Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York: John Wiley & Sons Inc, 1964. 361 p. [Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376c.].
8. McConnell A. J. Application of Tensor Analysis. New York: Dover Publications Inc., 1957. xii+318 p.
9. Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories // Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie / Ed. by S. Flu¨gge. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1960. P. 226-858.
10. Maugin G. A. Material inhomogeneities in elasticity. New York: CRC Press, 1993. 292 p.  DOI: 10.1007/978-1-4899-4481-8
11. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 3. С. 504-517.  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
12. Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399-412.  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
13. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a micropolar theory of growing solids // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 3. P. 424-444.  DOI: 10.14498/vsgtu1792 EDN: TYGBER
14. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Y. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 4. P. 752-761.  DOI: 10.14498/vsgtu1799 EDN: IVEASC
15. Kopff A. Mathematical Theory of Relativity. Dutton: Dutton Press, 1921. 214 p.
16. Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Самарский университет, 2006. 340 с.  ISBN: 5-86465-366-7 EDN: QJSBCN
17. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of Relative Tensors // Trans. Am. Math. Society. 1924. Vol. 26. P. 373-377. URL: https://www.jstor.org/stable/1989146.  DOI: 10.1090/S0002-9947-1924-1501284-6
18. Veblen O. Invariants of quadratic differential forms. Cambridge: The University Press, 1933. 102 p.
19. Мурашкин Е.В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 1(51). с. 17-26.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.001 EDN: KBSMPK
20. Radaev Y. N., Murashkin E. GENERALIZED PSEUDOTENSOR FORMULATIONS OF THE STOKES'INTEGRAL THEOREM // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2022. Vol. 22, no. 2. P. 205-215.  DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215 EDN: VURXND
21. Radaev Y. N., Murashkin E., Nesterov T. K. On covariant non-constancy of distortion and inversed distortion tensors // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2022. Vol. 26, no. 1. P. 36-47.  DOI: 10.14498/vsgtu1891 EDN: EWDQGG
22. Мурашкин Е.B., Радаев Ю.Н. Об определяющих псевдоскалярах гемитропных микрополярных сред в инверсных координатных системах // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 3. С. 457-474.  DOI: 10.14498/vsgtu1870 EDN: XYERLC
23. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge: Cambridge University Press, 1931. 101 p.
24. Jeffreys H., Swirles B. Methods of mathematical physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1950. 712 p.
25. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. Москва: Наука, 1980. 512 с.
26. Spencer A. J. M. Continuum mechanics and theory of materials. New York: Courier Corporation, 2004. 192 p.

1. Rosenfeld B.A. Multidimensional Spaces. Moscow, Nauka Publ., 1966. EDN: RVXUAX. (In Russian).
2. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 1948. 408 p. (In Russian).
3. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Vol. 5. Toronto, University of Toronto Press, 1949. 334 p.
4. Schouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford, Clarendon Press, 1965. 434 p.
5. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On a generalization of the Hamilton–Cayley algebraic theory. Izvestiya RAN. Mekhanika Tverdogo Tela, 2021, no. 6, pp. 130–138. DOI: 10.31857/S0572329921060106. EDN: VGJNSG. (In Russian).
6. Radayev Y.N., Murashkin E.V., Nesterov T.K. On covariant non-constancy of distortion and inverse distortion tensors. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2022, vol. 26, no. 1, pp. 36–47. DOI: 10.14498/vsgtu1891. EDN: EWDQGG.
7. Sokolnikoff I.S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York, John Wiley & Sons, 1964. 361 p.
8. McConnell A.J. Applications of Tensor Analysis. New York, Dover Publications, 1957. xii + 318 p.
9. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories. Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Ed. by S. Flügge. Berlin, Heidelberg, Springer, 1960, pp. 226–858.
10. Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. New York, CRC Press, 1993. 292 p. DOI: 10.1007/978-1-4899-4481-8.
11. Radaev Yu.N. Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635. EDN: YOYJQD. (In Russian).
12. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. EDN: TODIFV. (In Russian).
13. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On a micropolar theory of growing solids. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444. DOI: 10.14498/vsgtu1792. EDN: TYGBER.
14. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Y.N. On the Neuber theory of micropolar elasticity: A pseudotensor formulation. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 4, pp. 752–761. DOI: 10.14498/vsgtu1799. EDN: IVEASC.
15. Kopff A. Mathematical Theory of Relativity. Dutton, Dutton Press, 1921. 214 p.
16. Radaev Yu.N. Spatial Problem of the Mathematical Theory of Plasticity. Samara, Samara University Publ., 2006. 340 p. ISBN: 5-86465-366-7. EDN: QJSBCN. (In Russian).
17. Veblen O., Thomas T.Y. Extensions of relative tensors. Transactions of the American Mathematical Society, 1924, vol. 26, pp. 373–377. DOI: 10.1090/S0002-9947-1924-1501284-6. Available at: [https://www.jstor.org/stable/1989146](https://www.jstor.org/stable/1989146).
18. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge, Cambridge University Press, 1933. 102 p.
19. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Algebraic algorithm for the systematic reduction of one-point pseudotensors to absolute tensors. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 1(51), pp. 17–26. DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.001. EDN: KBSMPK. (In Russian).
20. Radayev Y.N., Murashkin E.V. Generalized pseudotensor formulations of Stokes’ integral theorem. Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, 2022, vol. 22, no. 2, pp. 205–215. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215. EDN: VURXND.
21. Radayev Y.N., Murashkin E.V., Nesterov T.K. On covariant non-constancy of distortion and inverse distortion tensors. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2022, vol. 26, no. 1, pp. 36–47. DOI: 10.14498/vsgtu1891. EDN: EWDQGG.
22. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On constitutive pseudoscalars of hemitropic micropolar media in inverse coordinate systems. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 25, no. 3, pp. 457–474. DOI: 10.14498/vsgtu1870. EDN: XYERLC. (In Russian).
23. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge, Cambridge University Press, 1931. 101 p.
24. Jeffreys H., Swirles B. Methods of Mathematical Physics. Cambridge, Cambridge University Press, 1950. 712 p.
25. Lurie A.I. Nonlinear Theory of Elasticity. Moscow, Nauka Publ., 1980. 512 p. (In Russian).
26. Spencer A.J.M. Continuum Mechanics and Theory of Materials. New York, Courier Corporation, 2004. 192 p.

Авторские права и лицензия

© 2022 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.