Мурашкин Евгений Валерьевич, Радаев Юрий Николаевич Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2(52). С. 118-127. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.52.2.013. EDN: ESTJSA.

Автор(ы)

Мурашкин Евгений Валерьевич — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Радаев Юрий Николаевич — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Название статьи

Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума

Название (англ.): Covariantly constant tensors in Euclid spaces. Applications to continuum mechanics

Индекс(ы) УДК

539.374

DOI

10.37972/chgpu.2022.52.2.013

EDN

ESTJSA

Ключевые слова

псевдотензор; фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр; символ перестановки; ковариантная производная; градиент; неконвенционально изотропный тензор; полностью изотропный тензор; демитропный тензор; гемитропный тензор; полуизотропный тензор; конвенционально изотропный тензор; тензор с постоянными компонентами; определяющий псевдотензор; хиральная среда; микрополярный гемитропный континуум

Аннотация

В настоящей работе обсуждаются вопросы использования в механике сплошных сред ковариантно постоянных тензоров и псевдотензоров (в том числе, двухточечных) произвольной валентности и целого веса в Евклидовых пространствах. В работе продемонстрировано, что тензоры дистории и обратной дисторсии не являются ковариантно постоянными двухточечными тензорами, в противовес указаниям на их ковариантное постоянство, встречающееся в литературных источниках по нелинейной механике континуума. Приводится общая форма упругого потенциала для линейного анизотропного микрополярного континуума. На основе неконвенционального определения полуизотропного тензора приводятся координатные представления определяющих тензоров и псевдотензоров четвертого ранга в терминах дельт Кронекера и метрических тензоров. Показывается ковариантное постоянство определяющих линейный анизотропный микрополярный континуум тензоров и псевдотензоров четвертого ранга.

Финансирование

Работа выполнена в рамках государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20120011690132-4) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований проекты № 20-01-00666

Даты

Поступила: 20.06.2022; Принята: 20.11.2022; Опубликована: 09.12.2022

Страницы

118-127

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Мурашкин Е.В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 2(52). с. 106-116.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012 EDN: FQVGRK
2. Berdichevsky V. L. Variational Principles of Continuum Mechanics. Moscow: Nauka, 1983. 448 p.
3. Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories // Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie / Ed. by S. Flu¨gge. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1960. P. 226-858.
4. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics. Berlin: Springer, 2004. 579 p.  DOI: 10.1007/978-3-662-10388-3_1
5. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On the Theory of Covariant Differentiation of Two Point Pseudotensor Fields // Mechanics of Solids. 2022. Vol. 57, no. 6. P. 1365-1373.  DOI: 10.3103/s0025654422060255 EDN: IUTIYX
6. Gurevich G. B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Gro¨ningen: Noordhoff, 1964. 429 p.
7. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1965. 434 p. [Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука. 1965. 456 с.].
8. Sokolnikoff I. Tensor Analysis: Theoryand Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York: John Wiley & Sons Inc, 1964. 361 p. [Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376c.].
9. Synge J. L., Schild A. Tensor calculus. Toronto: Toronto University Press, 1949. Vol. 5. 334 p.
10. McConnell A. J. Application of Tensor Analysis. New York: Dover Publications Inc., 1957. xii+318 p.
11. Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399-412.  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
12. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a micropolar theory of growing solids // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 3. P. 424-444.  DOI: 10.14498/vsgtu1792 EDN: TYGBER
13. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Y. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 4. P. 752-761.  DOI: 10.14498/vsgtu1799 EDN: IVEASC
14. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном псевдотензорном обобщении связывающих двусторонних граничных условий Югонио-Адамара // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2021. № 2(48). С. 104-114.  DOI: 10.37972/chgpu.2021.48.2.013 EDN: AYGXSJ
15. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Псевдовекторные дифференциальные операторы микрополярной упругости // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2021. № 4(50). С. 59-72.  DOI: 10.37972/chgpu.2021.50.4.005 EDN: DGEIXT
16. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Об одном обобщении алгебраической теории Гамильтона-Кэли // Изв. РАН. МТТ. 2021. № 6. С. 130-138.  DOI: 10.31857/S0572329921060106 EDN: VGJNSG
17. Nickolaevich R. Y., Valeryevich M. E. GENERALIZED PSEUDOTENSOR FORMULATIONS OF THE STOKES'INTEGRAL THEOREM // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2022. Vol. 22, no. 2. P. 205-215.  DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215 EDN: VURXND
18. Nikolaevich R. Y., Valeryevich M. E. et al. On covariant non-constancy of distortion and inversed distortion tensors // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2022. Vol. 26, no. 1. P. 36-47.  DOI: 10.14498/vsgtu1891 EDN: EWDQGG
19. Radayev Y. N., Murashkin E. V., Nesterov T. K. On covariant non-constancy of distortion and inversed distortion tensors // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2022. Vol. 26, no. 1. P. 36-47.  DOI: 10.14498/vsgtu1891 EDN: EWDQGG
20. Мурашкин Е.В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 1(51). с. 17-26.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.001 EDN: KBSMPK
21. Maugin G. A. Material inhomogeneities in elasticity. New York: CRC Press, 1993. 292 p.  DOI: 10.1007/978-1-4899-4481-8
22. Радаев Ю.Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 3. С. 504-517.  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
23. Мурашкин Е.B., Радаев Ю.Н. Об определяющих псевдоскалярах гемитропных микрополярных сред в инверсных координатных системах // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 3. С. 457-474.  DOI: 10.14498/vsgtu1870 EDN: XYERLC
24. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. viii+383 p.

1. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Elements of the theory. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 106–116. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012. EDN: FQVGRK. (In Russian).
2. Berdichevsky V.L. Variational Principles of Continuum Mechanics. Moscow, Nauka Publ., 1983. 448 p.
3. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories. Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Ed. by S. Flügge. Berlin, Heidelberg, Springer, 1960, pp. 226–858.
4. Truesdell C., Noll W. The Non-Linear Field Theories of Mechanics. Berlin, Springer, 2004. 579 p. DOI: 10.1007/978-3-662-10388-3_1.
5. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On the theory of covariant differentiation of two-point pseudotensor fields. Mechanics of Solids, 2022, vol. 57, no. 6, pp. 1365–1373. DOI: 10.3103/S0025654422060255. EDN: IUTIYX.
6. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, Noordhoff, 1964. 429 p.
7. Schouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford, Clarendon Press, 1965. 434 p.
8. Sokolnikoff I.S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York, John Wiley & Sons, 1964. 361 p.
9. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Vol. 5. Toronto, University of Toronto Press, 1949. 334 p.
10. McConnell A.J. Applications of Tensor Analysis. New York, Dover Publications, 1957. xii + 318 p.
11. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. EDN: TODIFV. (In Russian).
12. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On a micropolar theory of growing solids. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444. DOI: 10.14498/vsgtu1792. EDN: TYGBER.
13. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Y.N. On the Neuber theory of micropolar elasticity: A pseudotensor formulation. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 4, pp. 752–761. DOI: 10.14498/vsgtu1799. EDN: IVEASC.
14. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On a pseudotensor generalization of the coupling two-sided Hugoniot–Hadamard boundary conditions. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2021, no. 2(48), pp. 104–114. DOI: 10.37972/chgpu.2021.48.2.013. EDN: AYGXSJ. (In Russian).
15. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Pseudovector differential operators of micropolar elasticity. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2021, no. 4(50), pp. 59–72. DOI: 10.37972/chgpu.2021.50.4.005. EDN: DGEIXT. (In Russian).
16. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On a generalization of the Hamilton–Cayley algebraic theory. Izvestiya RAN. Mekhanika Tverdogo Tela, 2021, no. 6, pp. 130–138. DOI: 10.31857/S0572329921060106. EDN: VGJNSG. (In Russian).
17. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Generalized pseudotensor formulations of Stokes’ integral theorem. Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, 2022, vol. 22, no. 2, pp. 205–215. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215. EDN: VURXND.
18. Radayev Y.N., Murashkin E.V., Nesterov T.K. On covariant non-constancy of distortion and inverse distortion tensors. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2022, vol. 26, no. 1, pp. 36–47. DOI: 10.14498/vsgtu1891. EDN: EWDQGG.
19. Radayev Y.N., Murashkin E.V., Nesterov T.K. On covariant non-constancy of distortion and inverse distortion tensors. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2022, vol. 26, no. 1, pp. 36–47. DOI: 10.14498/vsgtu1891. EDN: EWDQGG.
20. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Algebraic algorithm for the systematic reduction of one-point pseudotensors to absolute tensors. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 1(51), pp. 17–26. DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.001. EDN: KBSMPK. (In Russian).
21. Maugin G.A. Material Inhomogeneities in Elasticity. New York, CRC Press, 1993. 292 p. DOI: 10.1007/978-1-4899-4481-8.
22. Radaev Yu.N. Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635. EDN: YOYJQD. (In Russian).
23. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On constitutive pseudoscalars of hemitropic micropolar media in inverse coordinate systems. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 25, no. 3, pp. 457–474. DOI: 10.14498/vsgtu1870. EDN: XYERLC. (In Russian).
24. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986. viii + 383 p.

Авторские права и лицензия

© 2022 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.