Мурашкин Евгений Валерьевич, Радаев Юрий Николаевич О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 3(53). С. 86-100. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2022.53.3.010. EDN: YOEHQV.

Автор(ы)

Мурашкин Евгений Валерьевич — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Радаев Юрий Николаевич — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Название статьи

О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел

Название (англ.): On two base natural forms of asymmetric force and couple stress tensors of potential in mechanics of hemitropic solids

Индекс(ы) УДК

539.374

DOI

10.37972/chgpu.2022.53.3.010

EDN

YOEHQV

Ключевые слова

псевдотензор; фундаментальный ориентирующий псевдоскаляр; квадратичная энергетическая форма; потенциал напряжений; определяющий псевдотензор; характерная микродлина; хиральная среда; микрополярный гемитропный континуум

Аннотация

В работе обсуждаются некоторые вопросы моделирования гемитропных упругих сред. Вводятся две основные квадратичные энергетические формы потенциала напряжений в терминах псевдотензоров. Указанные энергетические формы полагаются абсолютными инвариантами по отношению к произвольным преобразованиям трехмерного Евклидова пространства (в том числе, при зеркальных отражениях). В результате применения специальных координатных представлений полуизотропных (гемитропных) псевдотензоров четвертого ранга можно определить все 9 ковариантно постоянных определяющих псевдоскаляров, характеризующих гемитропную упругую среду. Выделены симметричные и антисимметричные части асимметричных тензоров и псевдотензоров деформаций и напряжений. Выполнено сравнение и получены соотношения, связывающие определяющие скаляры и псевдоскаляры первой и второй основных естественных энергетических форм, в том числе, с конвенционально используемыми гемитропными псевдоскалярами: модулем сдвига, коэффициентом Пуассона, характерной микродлиной (являющейся псевдоскаляром отрицательного веса, чувствительным к отражениям трехмерного пространства), и шестью безразмерными псевдоскалярами.

Финансирование

Работа выполнена в рамках государственного задания (№ госрегистрации АААА-А20120011690132-4) и при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований проекты № 20-01-00666.

Даты

Поступила: 20.09.2022; Принята: 15.11.2022; Опубликована: 30.12.2022

Страницы

86-100

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Berlin: Springer, 1972. 286 p.
2. Nowacki W. Theory of asymmetric elasticity. Oxford: Pergamon Press, 1986. 383 p.
3. Dyszlewicz J. Hemitropic medium // Micropolar Theory of Elasticity. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2004. P. 281-332.  DOI: 10.1007/978-3-540-45286-7_5
4. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с. [Gurevich G. B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Gro¨ningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.].
5. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1965. 434 p. [Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука. 1965. 456 с.].
6. Sokolnikoff I. Tensor Analysis: Theoryand Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York: John Wiley & Sons Inc, 1964. 361 p. [Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376c.].
7. Synge J. L., Schild A. Tensor calculus. Toronto: Toronto University Press, 1949. Vol. 5. 334 p.
8. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of Relative Tensors // Trans. Am. Math. Society. 1924. Vol. 26. P. 373-377. URL: https://www.jstor.org/stable/1989146.  DOI: 10.1090/S0002-9947-1924-1501284-6
9. Veblen O. Invariants of quadratic differential forms. Cambridge: The University Press, 1933. 102 p. [Веблен О. Инварианты дифференциальных квадратичных форм. М.: Изд-во иностр. лит., 1948. с.].
10. Радаев Ю. Н., Мурашкин Е. В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399-412.  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
11. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a micropolar theory of growing solids // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 3. P. 424-444.  DOI: 10.14498/vsgtu1792 EDN: TYGBER
12. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Y. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 4. P. 752-761.  DOI: 10.14498/vsgtu1799 EDN: IVEASC
13. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. EDN: RVXUAX
14. Kopff A. Mathematical Theory of Relativity. Dutton: Dutton Press, 1921. 214 p.
15. Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Самарский университет, 2006. 340 с.
16. Мурашкин Е.В., Радаев Ю. Н. Алгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 1(51). с. 17-26.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.001 EDN: KBSMPK
17. McConnell A. J. Application of Tensor Analysis. New York: Dover Publications Inc., 1957. xii+318 p.
18. Radaev Y. N., Murashkin E. GENERALIZED PSEUDOTENSOR FORMULATIONS OF THE STOKES'INTEGRAL THEOREM // Известия Саратовского университета. Новая серия. Серия Математика. Механика. Информатика. 2022. Vol. 22, no. 2. P. 205-215.  DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215 EDN: VURXND
19. Radaev Y. N., Murashkin E., Nesterov T. K. On covariant non-constancy of distortion and inversed distortion tensors // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2022. Vol. 26, no. 1. P. 36-47.  DOI: 10.14498/vsgtu1891 EDN: EWDQGG
20. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2018. Т. 22, № 3. С. 504-517.  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
21. Мурашкин Е.B., Радаев Ю.Н. Об определяющих псевдоскалярах гемитропных микрополярных сред в инверсных координатных системах // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 3. С. 457-474.  DOI: 10.14498/vsgtu1870 EDN: XYERLC
22. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge: Cambridge University Press, 1931. 101 p.
23. Jeffreys H., Swirles B. Methods of mathematical physics. Cambridge: Cambridge University Press, 1950. 712 p.
24. Spencer A. J. M. Continuum mechanics and theory of materials. New York: Courier Corporation, 2004. 192 p.
25. Лурье А. И. Нелинейная теория упругости. Москва: Наука, 1980. 512 с.
26. Мурашкин Е.В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 2(52). с. 106-115.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012 EDN: FQVGRK
27. Мурашкин Е.В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. 2022. № 2(52). С. 118- 127.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.013 EDN: ESTJSA

1. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin, Springer, 1972. 286 p.
2. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, Pergamon Press, 1986. 383 p.
3. Dyszlewicz J. Hemitropic medium. Micropolar Theory of Elasticity. Berlin, Heidelberg, Springer, 2004, pp. 281–332. DOI: 10.1007/978-3-540-45286-7_5.
4. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Moscow, Leningrad, GITTL Publ., 1948. 408 p. (In Russian).
5. Schouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford, Clarendon Press, 1965. 434 p.
6. Sokolnikoff I.S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York, John Wiley & Sons, 1964. 361 p.
7. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Vol. 5. Toronto, University of Toronto Press, 1949. 334 p.
8. Veblen O., Thomas T.Y. Extensions of relative tensors. Transactions of the American Mathematical Society, 1924, vol. 26, pp. 373–377. DOI: 10.1090/S0002-9947-1924-1501284-6. Available at: https://www.jstor.org/stable/1989146.
9. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge, Cambridge University Press, 1933. 102 p.
10. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. EDN: TODIFV. (In Russian).
11. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On a micropolar theory of growing solids. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444. DOI: 10.14498/vsgtu1792. EDN: TYGBER.
12. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Y.N. On the Neuber theory of micropolar elasticity: A pseudotensor formulation. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 4, pp. 752–761. DOI: 10.14498/vsgtu1799. EDN: IVEASC.
13. Rosenfeld B.A. Multidimensional Spaces. Moscow, Nauka Publ., 1966. EDN: RVXUAX. (In Russian).
14. Kopff A. Mathematical Theory of Relativity. Dutton, Dutton Press, 1921. 214 p.
15. Radaev Yu.N. Spatial Problem of the Mathematical Theory of Plasticity. Samara, Samara University Publ., 2006. 340 p. (In Russian).
16. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Algebraic algorithm for the systematic reduction of one-point pseudotensors to absolute tensors. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 1(51), pp. 17–26. DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.001. EDN: KBSMPK. (In Russian).
17. McConnell A.J. Applications of Tensor Analysis. New York, Dover Publications, 1957. xii + 318 p.
18. Radayev Y.N., Murashkin E.V. Generalized pseudotensor formulations of Stokes’ integral theorem. Izvestiya Saratovskogo Universiteta. Novaya Seriya. Seriya: Matematika. Mekhanika. Informatika, 2022, vol. 22, no. 2, pp. 205–215. DOI: 10.18500/1816-9791-2022-22-2-205-215. EDN: VURXND.
19. Radayev Y.N., Murashkin E.V., Nesterov T.K. On covariant non-constancy of distortion and inverse distortion tensors. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2022, vol. 26, no. 1, pp. 36–47. DOI: 10.14498/vsgtu1891. EDN: EWDQGG.
20. Radaev Yu.N. Multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, no. 3, pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635. EDN: YOYJQD. (In Russian).
21. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On constitutive pseudoscalars of hemitropic micropolar media in inverse coordinate systems. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 25, no. 3, pp. 457–474. DOI: 10.14498/vsgtu1870. EDN: XYERLC. (In Russian).
22. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge, Cambridge University Press, 1931. 101 p.
23. Jeffreys H., Swirles B. Methods of Mathematical Physics. Cambridge, Cambridge University Press, 1950. 712 p.
24. Spencer A.J.M. Continuum Mechanics and Theory of Materials. New York, Courier Corporation, 2004. 192 p.
25. Lurie A.I. Nonlinear Theory of Elasticity. Moscow, Nauka Publ., 1980. 512 p. (In Russian).
26. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Elements of the theory. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 106–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012. EDN: FQVGRK. (In Russian).
27. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Applications to continuum mechanics. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 118–127. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.013. EDN: ESTJSA. (In Russian).

Авторские права и лицензия

© 2022 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.