Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева

Мурашкин Е.В. Об одном способе построения фигурная в асимметричных теориях демитропной микрополярной упругости // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2023. № 3(57). С. 100-111. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.009. EDN: KSSOKR.

Автор(ы)

Мурашкин Е.В. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН

Название статьи

Об одном способе построения фигурная в асимметричных теориях демитропной микрополярной упругости

Название (англ.): On a method of constructing nye figures for asymmetric theories of micropolar elasticity

Индекс(ы) УДК

539.374

DOI

10.37972/chgpu.2023.57.3.009

EDN

KSSOKR

Ключевые слова

псевдотензор; микрополярная среда; упругий потенциал; определяющий псевдотензор; демитропный микрополярный континуум; фигура Ная; матричное представление

Аннотация

В настоящей работе процедура построения двумерных фигур Ная модифицируется для асимметричных матриц и применяется для представления определяющих псевдотензоров демитропных микрополярных упругих континуумов. Указанные матричные представления используются для упрощения тензорной записи уравнений анизотропных тел. Метод матричного представления Ная позволяет изобразить тензоры и псевдотензоры четвертого и второго рангов в виде своеобразных двумерных фигур. Получена матричная форма асимметричных определяющих уравнений демитропного микрополярного упругого тела. Основное изложение статьи проводится в декартовой прямоугольной системе координат в терминах инвариантного элемента объема.

Финансирование

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-21-00262). https://rscf.ru/project/23-21-00262/.

Даты

Поступила: 05.09.2023; Принята: 10.12.2023

Страницы

100-111

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. DeValk T., Hestetune J., Lakes R. S. Nonclassical thermal twist of the chiral gyroid lattice // Phys. Status Solidi (B). 2022. Vol. 259, no. 12. p. 2200338. doi:10.1002/pssb.202200338.
2. Aouadi M., Ciarletta M., Tibullo V. Analytical aspects in strain gradient theory for chiral Cosserat thermoelastic materials within three Green-Naghdi models // Journal of Thermal Stresses. 2019.
3. Vol. 42, no. 6. P. 681–697. doi:10.1080/01495739.2019.1571974.
4. Lakes R. Composites and metamaterials. Singapore: World Scientific, 2020.
5. Cosserat E., Cosserat F. Th´eorie des corps d´eformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909.
6. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum // Acta Mechanica. 1974. Vol. 20. P. 105–131.
7. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Berlin: Springer. Berlin: Springer Science & Business Media, 1972.
8. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1986. viii+383 p.
9. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin: Springer Science & Business Media, 1986. xv+345 p.
10. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Ko¨rper // Acta Mechanica. 1966.¨ Vol. 2. P. 48–69. doi: 10.1007/BF01176729.
11. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany) 1964 / Springer. 1966. P. 153–158. doi: 10.1007/978-3-662-29364-5_16.
12. Радаев Ю.Н., Мурашкин Е.В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. URL: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
13. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a micropolar theory of growing solids // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 3. P. 424–444.
14. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории линейных гемитропных микрополярных сред // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2020. № 4. С. 16–24. doi: 10.37972/chgpu.2020.89.81.031.
15. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. 2023. Т. 58, № 3. С. 802–813. doi: 10.3103/s0025654423700127.
16. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2023. № 1(55). с. 110–121. doi: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012.
17. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Y. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 4. P. 752–761. doi:10.14498/vsgtu1799.
18. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22. С. 504– 517. doi: 10.14498/vsgtu1635. URL: http://mi.mathnet.ru/vsgtu1635.
19. Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories // Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie / Ed. by S. Flu¨gge. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1960. P. 226–858.
20. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с. [Gurevich G. B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Gro¨ningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.].
21. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of Relative Tensors // Trans. Am. Math. Society. 1924. Vol. 26. P. 373–377. URL: https://www.jstor.org/stable/1989146.
22. Veblen O. Invariants of quadratic differential forms. Cambridge: The University Press, 1933. 102 p.
23. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1965. 434 p.
24. Sokolnikoff I. Tensor Analysis: Theoryand Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York: John Wiley & Sons Inc, 1964. 361 p. [Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376c.].
25. Synge J. L., Schild A. Tensor calculus. Toronto: Toronto University Press, 1949. Vol. 5. 334 p.
26. Das A. J. Tensors: the mathematics of relativity theory and continuum mechanics. Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2007.
27. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2(52). с. 106–115. doi: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012.
28. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2(52). С. 118– 127. doi: 10.37972/chgpu.2022.52.2.013.
29. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 3(53). с. 86–100. doi: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010.
30. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 4(54). с. 108–115. doi: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009.
31. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. 2023. Т. 58, № 9.
32. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Heat Conduction of Micropolar Solids Sensitive to Mirror Reflections of Three–Dimensional Space // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya FizikoMatematicheskie Nauki. 2023. Т. 165, № 4.
33. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2023. № 3(57). с. 100–111. doi: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010.
34. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge: Cambridge University Press, 1931. 101 p.
35. Nye J. F. Physical Properties of Crystals, their representation by tensors and matrices. Oxford: Clarendon Press, 1957. 322+xv p.
36. Wooster W. A. Experimental Crystal Physics. Oxford: Clarendon Press, 1957. 116+vi p.
37. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluß der Kristalloptik). Fachmedien, Wiesbaden: Springer, 1966. 116+vi p.
38. Standards on Piezoelectric Crystals // Proceedings of the I.R.E. New York: IRE, 1960. p. 18.
39. Zheng Q. S., Spencer A. J. M. On the canonical representations for Kronecker powers of orthogonal tensors with application to material symmetry problems // Int. J. Engng Sci. 2021. Vol. 31, no. 4. P. 617–635.

1. DeValk T., Hestetune J., Lakes R.S. Nonclassical thermal twist of the chiral gyroid lattice. Physica Status Solidi B, 2022, vol. 259, no. 12, article 2200338. DOI: 10.1002/pssb.202200338.
2. Aouadi M., Ciarletta M., Tibullo V. Analytical aspects in strain-gradient theory for chiral Cosserat thermoelastic materials within three Green–Naghdi models. Journal of Thermal Stresses, 2019, vol. 42, no. 6, pp. 681–697. DOI: 10.1080/01495739.2019.1571974.
3. Lakes R. Composites and Metamaterials. Singapore, World Scientific, 2020.
4. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des Corps Déformables. Paris, A. Hermann et Fils, 1909. (In French).
5. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat continuum. Acta Mechanica, 1974, vol. 20, pp. 105–131.
6. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin, Springer Science & Business Media, 1972.
7. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt, Pergamon Press, 1986. viii + 383 p.
8. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin, Springer Science & Business Media, 1986. xv + 345 p.
9. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper. Acta Mechanica, 1966, vol. 2, pp. 48–69. DOI: 10.1007/BF01176729. (In German).
10. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics, Munich, Germany, 1964. Springer, 1966, pp. 153–158. DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5_16.
11. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. (In Russian).
12. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On a micropolar theory of growing solids. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444.
13. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On the theory of linear hemitropic micropolar media. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2020, no. 4, pp. 16–24. DOI: 10.37972/chgpu.2020.89.81.031. (In Russian).
14. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813. DOI: 10.3103/S0025654423700127.
15. Murashkin E.V. On the relationship between micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 1(55), pp. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012. (In Russian).
16. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Y.N. On the Neuber theory of micropolar elasticity: A pseudotensor formulation. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 4, pp. 752–761. DOI: 10.14498/vsgtu1799.
17. Radaev Yu.N. The multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, pp. 504–517. DOI: 10.14498/vsgtu1635. Available at: http://mi.mathnet.ru/vsgtu1635. (In Russian).
18. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories. Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Ed. by S. Flügge. Berlin, Heidelberg, Springer, 1960, pp. 226–858.
19. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.
20. Veblen O., Thomas T.Y. Extensions of relative tensors. Transactions of the American Mathematical Society, 1924, vol. 26, pp. 373–377. Available at: https://www.jstor.org/stable/1989146.
21. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge, Cambridge University Press, 1933. 102 p.
22. Schouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford, Clarendon Press, 1965. 434 p.
23. Sokolnikoff I.S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York, John Wiley & Sons, 1964. 361 p.
24. Sokolnikoff I.S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Continuum Mechanics. Moscow, Nauka Publ., 1971. 376 p. (Russian transl.).
25. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Vol. 5. Toronto, University of Toronto Press, 1949. 334 p.
26. Das A.J. Tensors: The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. Berlin, Heidelberg, Springer Science & Business Media, 2007.
27. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Elements of the theory. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 106–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012. (In Russian).
28. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Applications to continuum mechanics. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 118–127. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.013. (In Russian).
29. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On two fundamental natural forms of the potential of asymmetric force-stress and couple-stress tensors in the mechanics of hemitropic bodies. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 3(53), pp. 86–100. DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010. (In Russian).
30. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Reduction of natural forms of hemitropic energy potentials to conventional forms. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 4(54), pp. 108–115. DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009. (In Russian).
31. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 9.
32. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 4.
33. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On the multivariance of the fundamental equations of coupled thermoelasticity of a micropolar body. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 3(57), pp. 100–111. DOI: 10.37972/chgpu.2023.57.3.010. (In Russian).
34. Jeffreys H. Cartesian Tensors. Cambridge, Cambridge University Press, 1931. 101 p.
35. Nye J.F. Physical Properties of Crystals: Their Representation by Tensors and Matrices. Oxford, Clarendon Press, 1957. xv + 322 p.
36. Wooster W.A. Experimental Crystal Physics. Oxford, Clarendon Press, 1957. vi + 116 p.
37. Voigt W. Lehrbuch der Kristallphysik (mit Ausschluss der Kristalloptik). Wiesbaden, Springer Fachmedien, 1966. vi + 116 p. (In German).
38. Standards on piezoelectric crystals. Proceedings of the I.R.E. New York, IRE, 1960. 18 p.
39. Zheng Q.S., Spencer A.J.M. On the canonical representations for Kronecker powers of orthogonal tensors with application to material symmetry problems. International Journal of Engineering Science, 2021, vol. 31, no. 4, pp. 617–635.

Авторские права и лицензия

© 2023 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.