Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева

Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2023. № 3(57). С. 112-128. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2023.57.3.010. EDN: RQUKBG.

Автор(ы)

Мурашкин Е.В. — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Радаев Ю.Н. — Институт проблем механики им. А.Ю.Ишлинского РАН

Название статьи

К поливариантности основных уравнений связанной термоупругости микрополярного тела

Название (англ.): On the polyvariance of the base equations of coupled micropolar thermoelasticity

Индекс(ы) УДК

539.374

DOI

10.37972/chgpu.2023.57.3.010

EDN

RQUKBG

Ключевые слова

поливариантность; наномасштаб; микромасштаб; наноструктурное состояние; характерная микродлина; модуль сдвига; теплопроводность; микрополярность; тензорный элемент объема; псевдовектор потока тепла; псевдотензор; зеркальное отражение; полуизотропное тело; гиротропное тело

Аннотация

Статья посвящена исследованию поливариантности динамических уравнений теории полуизотропной микрополярной термоупругости. Рассмотрены и проанализированы различные варианты присвоения целых весов полевым переменным с последующим детерминированием алгебраических весов псевдовекторных уравнений динамики полуизотропного термоупругого тела. Этих целей удается достичь, используя псевдоинвариантые элементы объема и площади нечетных целых весов. Кроме того, показано, что нечетный вес может быть приписан псевдовектору спинорных перемещений. В результате чего, тепловой поток, тензор силовых напряжений, массовая плотность, теплоемкость, модуль сдвига также оказываются псевдотензорными величинами нечетного веса, т.е. чувствительны к зеркальным отражениям и инверсиям трехмерного пространства. Обсуждается постулат абсолютной инвариантности абсолютной термодинамической температуры. Получены различные варианты связанной системы дифференциальных уравнений динамики и уравнения теплопроводности для полуизотропного микрополярного термоупругого тела. Обсуждаются вопросы взаимовлияния алгебраических весов определяющих псевдоскаляров с целью учета их реакции на преобразования трехмерного пространства, меняющих его ориентацию на противоположную.

Финансирование

Название программы финансирования: Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда (проект № 23-21-00262 “Связанная термомеханика микрополярных полуизотропных сред”. Организация, предоставившая финансирование: Российский научный фонд.

Даты

Поступила: 20.09.2023; Принята: 05.12.2023; Опубликована: 27.12.2023

Страницы

112-128

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. DeValk T., Hestetune J., Lakes R. S. Nonclassical thermal twist of the chiral gyroid lattice // Phys. Status Solidi (B). 2022. Vol. 259, no. 12. p. 2200338.
2. Aouadi M., Ciarletta M., Tibullo V. Analytical aspects in strain gradient theory for chiral Cosserat thermoelastic materials within three Green-Naghdi models // Journal of Thermal Stresses. 2019. Vol. 42, no. 6. P. 681–697.
3. Lakes R. Composites and metamaterials. Singapore: World Scientific, 2020.
4. Cosserat E., Cosserat F. Th´eorie des corps d´eformables. Paris: A. Hermann et fils, 1909.
5. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum // Acta Mechanica. 1974. Vol. 20. P. 105–131.
6. Nowacki W. Theory of micropolar elasticity. Berlin: Springer. Berlin: Springer Science & Business Media, 1972.
7. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt: Pergamon Press, 1986. viii+383 p.
8. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin: Springer Science & Business Media, 1986. xv+345 p.
9. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Ko¨rper // Acta Mechanica. 1966.¨ Vol. 2. P. 48–69.
10. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany) 1964 / Springer. 1966. P. 153–158.
11. Радаев Ю.Н., Мурашкин Е.В. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. 2020. Т. 82, № 4. С. 399–412. URL: https://doi.org/10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412.
12. Murashkin E. V., Radayev Y. N. On a micropolar theory of growing solids // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 3. P. 424–444.
13. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. К теории линейных гемитропных микрополярных сред // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2020. № 4. С. 16–24. DOI: 10.37972/chgpu.2020.89.81.031
14. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. 2023. Т. 58, № 3. С. 802–813.
15. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2023. № 1(55). с. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012
16. Kovalev V. A., Murashkin E. V., Radayev Y. N. On the Neuber theory of micropolar elasticity. A pseudotensor formulation // Journal of Samara State Technical University, Ser. Physical and Mathematical Sciences. 2020. Vol. 24, no. 4. P. 752–761.
17. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-мат. науки. 2018. Т. 22. С. 504– 517. URL: http://mi.mathnet.ru/vsgtu1635.
18. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicist. Oxford: Clarendon Press, 1965. 434 p. [Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. М.: Наука. 1965. 456 с.].
19. Sokolnikoff I. Tensor Analysis: Theoryand Applications to Geometry and Mechanics of Continua. New York: John Wiley & Sons Inc, 1964. 361 p. [Сокольников И. С. Тензорный анализ. Теория и применения в геометрии и в механике сплошных сред. М.: Наука, 1971. 376c.].
20. Synge J. L., Schild A. Tensor calculus. Toronto: Toronto University Press, 1949. Vol. 5. 334 p.
21. Truesdell C., Toupin R. The Classical Field Theories // Principles of Classical Mechanics and Field Theory / Prinzipien der Klassischen Mechanik und Feldtheorie / Ed. by S. Flu¨gge. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1960. P. 226–858.
22. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. М., Л.: ГИТТЛ, 1948. 408 с. [Gurevich G. B. Foundations of the theory of algebraic invariants. Gro¨ningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.].
23. Veblen O., Thomas T. Y. Extensions of Relative Tensors // Trans. Am. Math. Society. 1924. Vol. 26. P. 373–377. URL: https://www.jstor.org/stable/1989146.
24. Veblen O. Invariants of quadratic differential forms. Cambridge: The University Press, 1933. 102 p.
25. Das A. J. Tensors: the mathematics of relativity theory and continuum mechanics. Berlin, Heidelberg: Springer Science & Business Media, 2007.
26. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Элементы теории поля: вариационные симметрии и геометрические инварианты. М.: Физматлит, 2009. 156 с.
27. Ковалев В. А., Радаев Ю. Н. Волновые задачи теории поля и термомеханика. Саратов: Изд-во Саратовского ун-та, 2010. 328 с.
28. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Coupled Thermoelasticity of Hemitropic Media. Pseudotensor Formulation // Mechanics of Solids. 2023. Т. 58, № 9.
29. Murashkin E. V., Radaev Y. N. Heat Conduction of Micropolar Solids Sensitive to Mirror Reflections of Three–Dimensional Space // Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya FizikoMatematicheskie Nauki. 2023. Т. 165, № 4.
30. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О согласовании ориентаций тензорных элементов площади в микрополярном континууме, погружаемом во внешнее плоское пространство // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. 2021. Т. 25, № 4. С. 776–786.
31. Murashkin E., Radaev Y. N. On theory of oriented tensor elements of area for a micropolar continuum immersed in an external plane space // Mechanics of Solids. 2022. Vol. 57, no. 2. P. 205–213.
32. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Тензор силовых напряжений Схоутена и аффинорные плотности положительного веса // Проблемы прочности и пластичности. 2022. Т. 84, № 4. С. 545–558.
33. Murashkin E. V., Radayev Y. N. The Schouten Force Stresses in Continuum Mechanics Formulations // Mechanics of Solids. 2023. Vol. 58, no. 1. P. 153–160.
34. Фиников Сергей Павлович. Метод внешних форм Картана в дифференциальной геометрии. Л., М.: ОГИЗ, 1948. 432 с.
35. Картан А. Дифференциальное исчисление. Дифференциальные формы. М.: Мир, 1971. 392 с.
36. Ефимов Н. В. Введение в теорию внешних форм. М.: Наука, 1977. 88 с.
37. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1979. 431 с.
38. Парс Л. А. Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971. 636 с.
39. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A Negative Weight Pseudotensor Formulation of Coupled Hemitropic Thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. 2023. Vol. 44, no. 6. P. 2440–2449.
40. Radayev Y. N. Tensors with Constant Components in the Constitutive Equations of a Hemitropic Micropolar Solids // Mechanics of Solids. 2023. Vol. 58, no. 5. P. 1517–1527.
41. Розенфельд Б. А. Многомерные пространства. М.: Наука, 1966. 648 с.
42. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Aлгебраический алгоритм систематического приведения одноточечных псевдотензоров к абсолютным тензорам // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 1(51). с. 19–28. DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.002
43. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Элементы теории // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2(52). с. 106–117. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012
44. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Ковариантно постоянные тензоры в пространствах Евклида. Приложения к механике континуума // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2022. № 2(52). С. 118–127. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.013
45. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О формулировках краевых условий в задачах синтеза тканых 3D материалов // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. ИЯ Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2021. № 1(47). с. 114–121. DOI: 10.37972/chgpu.2021.1.47.010
46. Kopff A. Mathematical Theory of Relativity. Dutton: Dutton Press, 1921. 214 p.
47. Радаев Ю. Н. Пространственная задача математической теории пластичности. Самара: Самарский университет, 2006. 340 с.

1. DeValk T., Hestetune J., Lakes R.S. Nonclassical thermal twist of the chiral gyroid lattice. Physica Status Solidi B, 2022, vol. 259, no. 12, article 2200338.
2. Aouadi M., Ciarletta M., Tibullo V. Analytical aspects in strain-gradient theory for chiral Cosserat thermoelastic materials within three Green–Naghdi models. Journal of Thermal Stresses, 2019, vol. 42, no. 6, pp. 681–697.
3. Lakes R. Composites and Metamaterials. Singapore, World Scientific, 2020.
4. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des Corps Déformables. Paris, A. Hermann et Fils, 1909. (In French).
5. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat continuum. Acta Mechanica, 1974, vol. 20, pp. 105–131.
6. Nowacki W. Theory of Micropolar Elasticity. Berlin, Springer Science & Business Media, 1972.
7. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt, Pergamon Press, 1986. viii + 383 p.
8. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics. Berlin, Springer Science & Business Media, 1986. xv + 345 p.
9. Neuber H. Über Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Körper. Acta Mechanica, 1966, vol. 2, pp. 48–69. (In German).
10. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua. Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics, Munich, Germany, 1964. Springer, 1966, pp. 153–158.
11. Radaev Yu.N., Murashkin E.V. Pseudotensor formulation of the mechanics of hemitropic micropolar media. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2020, vol. 82, no. 4, pp. 399–412. DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412. (In Russian).
12. Murashkin E.V., Radayev Y.N. On a micropolar theory of growing solids. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 3, pp. 424–444.
13. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On the theory of linear hemitropic micropolar media. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2020, no. 4, pp. 16–24. DOI: 10.37972/chgpu.2020.89.81.031. (In Russian).
14. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 3, pp. 802–813.
15. Murashkin E.V. On the relationship between micropolar constitutive parameters of thermodynamic state potentials. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2023, no. 1(55), pp. 110–121. DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012. (In Russian).
16. Kovalev V.A., Murashkin E.V., Radayev Y.N. On the Neuber theory of micropolar elasticity: A pseudotensor formulation. Journal of Samara State Technical University, Series: Physical and Mathematical Sciences, 2020, vol. 24, no. 4, pp. 752–761.
17. Radaev Yu.N. The multiplier rule in covariant formulations of micropolar theories of continuum mechanics. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2018, vol. 22, pp. 504–517. Available at: http://mi.mathnet.ru/vsgtu1635. (In Russian).
18. Schouten J.A. Tensor Analysis for Physicists. Oxford, Clarendon Press, 1965. 434 p.
19. Sokolnikoff I.S. Tensor Analysis: Theory and Applications to Geometry and Continuum Mechanics. Moscow, Nauka Publ., 1971. 376 p. (Russian transl.).
20. Synge J.L., Schild A. Tensor Calculus. Vol. 5. Toronto, University of Toronto Press, 1949. 334 p.
21. Truesdell C., Toupin R. The classical field theories. Principles of Classical Mechanics and Field Theory. Ed. by S. Flügge. Berlin, Heidelberg, Springer, 1960, pp. 226–858.
22. Gurevich G.B. Foundations of the Theory of Algebraic Invariants. Groningen, P. Noordhoff, 1964. 429 p.
23. Veblen O., Thomas T.Y. Extensions of relative tensors. Transactions of the American Mathematical Society, 1924, vol. 26, pp. 373–377. Available at: https://www.jstor.org/stable/1989146.
24. Veblen O. Invariants of Quadratic Differential Forms. Cambridge, Cambridge University Press, 1933. 102 p.
25. Das A.J. Tensors: The Mathematics of Relativity Theory and Continuum Mechanics. Berlin, Heidelberg, Springer Science & Business Media, 2007.
26. Kovalev V.A., Radaev Yu.N. Elements of Field Theory: Variational Symmetries and Geometric Invariants. Moscow, Fizmatlit Publ., 2009. 156 p. (In Russian).
27. Kovalev V.A., Radaev Yu.N. Wave Problems of Field Theory and Thermomechanics. Saratov, Saratov University Press, 2010. 328 p. (In Russian).
28. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Coupled thermoelasticity of hemitropic media. Pseudotensor formulation. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 9.
29. Murashkin E.V., Radaev Y.N. Heat conduction of micropolar solids sensitive to mirror reflections of three-dimensional space. Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 4.
30. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On matching the orientations of tensor area elements in a micropolar continuum immersed in an external plane space. Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Tekhnicheskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2021, vol. 25, no. 4, pp. 776–786. (In Russian).
31. Murashkin E., Radaev Y.N. On the theory of oriented tensor elements of area for a micropolar continuum immersed in an external plane space. Mechanics of Solids, 2022, vol. 57, no. 2, pp. 205–213.
32. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. The Schouten force-stress tensor and affinor densities of positive weight. Problemy Prochnosti i Plastichnosti, 2022, vol. 84, no. 4, pp. 545–558. (In Russian).
33. Murashkin E.V., Radayev Y.N. The Schouten force stresses in continuum mechanics formulations. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 1, pp. 153–160.
34. Finikov S.P. Cartan's Method of Exterior Forms in Differential Geometry. Leningrad, Moscow, OGIZ Publ., 1948. 432 p. (In Russian).
35. Cartan H. Differential Calculus. Differential Forms. Moscow, Mir Publ., 1971. 392 p. (Russian transl.).
36. Efimov N.V. Introduction to the Theory of Exterior Forms. Moscow, Nauka Publ., 1977. 88 p. (In Russian).
37. Arnold V.I. Mathematical Methods of Classical Mechanics. Moscow, Nauka Publ., 1979. 431 p. (In Russian).
38. Pars L.A. Analytical Dynamics. Moscow, Nauka Publ., 1971. 636 p. (Russian transl.).
39. Murashkin E.V., Radayev Y.N. A negative-weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity. Lobachevskii Journal of Mathematics, 2023, vol. 44, no. 6, pp. 2440–2449.
40. Radayev Y.N. Tensors with constant components in the constitutive equations of hemitropic micropolar solids. Mechanics of Solids, 2023, vol. 58, no. 5, pp. 1517–1527.
41. Rosenfeld B.A. Multidimensional Spaces. Moscow, Nauka Publ., 1966. 648 p. (In Russian).
42. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Algebraic algorithm for the systematic reduction of one-point pseudotensors to absolute tensors. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 1(51), pp. 19–28. DOI: 10.37972/chgpu.2022.51.1.002. (In Russian).
43. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Elements of the theory. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 106–117. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.012. (In Russian).
44. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. Covariantly constant tensors in Euclidean spaces: Applications to continuum mechanics. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2022, no. 2(52), pp. 118–127. DOI: 10.37972/chgpu.2022.52.2.013. (In Russian).
45. Murashkin E.V., Radaev Yu.N. On formulations of boundary conditions in problems of synthesis of woven 3D materials. Vestn. Chuvash. Gos. Ped. Univ. im. I. Ya. Yakovleva. Ser.: Mekh. Pred. Sost., 2021, no. 1(47), pp. 114–121. DOI: 10.37972/chgpu.2021.1.47.010. (In Russian).
46. Kopff A. Mathematical Theory of Relativity. New York, Dutton Press, 1921. 214 p.
47. Radaev Yu.N. Spatial Problem of the Mathematical Theory of Plasticity. Samara, Samara University Publ., 2006. 340 p. (In Russian).

Авторские права и лицензия

© 2023 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.