Мурашкин Е.В., Радаев Ю.Н. Диагонализация энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела. Метод многомерных вращений // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. № 1(67). С. 159–179. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2026.67.1.021. EDN: UNKYXZ.

Автор(ы)

Мурашкин Е.В. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Радаев Ю.Н. — Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАНORCIDeLibrary

Название статьи

Диагонализация энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела. Метод многомерных вращений

Название (англ.): Diagonalization of the energy form of a hemitropic micropolar elastic body. Method of multidimensional rotations

Индекс(ы) УДК

539.319

DOI

10.37972/chgpu.2026.67.1.021

EDN

UNKYXZ

Ключевые слова

энергия деформации; внутренняя энергия; энтропия; устойчивость равновесия; гемитропная микрополярная среда; упругость; диагонализация; каноническая квадратичная форма; положительная определенность; определяющие неравенства

Аннотация

Настоящая работа посвящена построению канонической диагональной энергетической формы гемитропного микрополярного упругого тела. Энергия деформации задается квадратичной формой, зависящей от асимметричных тензора деформации и тензора изгиба-кручения. Наиболее удобным для целей настоящего исследование оказывается Aпредставление энергии деформации гемитропной микрополярной упругой среды, характеризующейся 9 изоэнтропийными механическими модулями. Квадратичная форма энергии деформации диагонализируется методом последовательных двумерных поворотов Якоби. Несвязанные двумерные повороты путем их композиции можно объединить в один многомерный поворот. Для диагонализации матрицы квадратичной формы оказалось достаточно 5 различных вращений. В результате применения метода Якоби получается диагональная матрица, подобная матрице квадратичной энергетической формы. Причем на главной диагонали располагаются собственные числа. Композиция указанных 5 поворотов, являющихся преобразованием подобия, определяют переход к новым каноническим переменным. Каноническая форма энергии деформации позволяет явно и наиболее просто сформулировать критерии устойчивости равновесия (equilibrium stability) для гемитропного микрополярного упругого тела. Получены односторонние ограничения, накладываемые на определяющие константы, обеспечивающие положительную определенность квадратичной формы, гарантирующих устойчивость равновесия гемитропного микрополярного упругого тела. Показана эквивалентность систем неравенств полученных ранее методом Лагранжа и методом Якоби.

Финансирование

Работа выполнена по теме государственного задания (номер госрегистрации 124013000674-0).

Даты

Поступила: 12.02.2026; Принята: 24.04.2026; Опубликована: 01.07.2026

Страницы

159–179

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Wilkinson J. The algebraic eigenvalue problem. Т. 662. – Oxford : Clarendon Press, 1965.
2. Бахвалов Н. Численные методы (анализ, алгебра, дифференциальные уравнения). - Москва: Наука, 1975.
3. Johnson C., Horn R. Matrix analysis. – Cambridge : Cambridge university press, 1985.
4. Jacobi C. G. Ueber eine neue Auflo¨sungsart der bei der Methode der kleinsten Quadrate vorkommenden line¨aren Gleichungen // Astronomische Nachrichten. – 1845. – Т. 22, № 20. – С. 297–306.
5. Jacobi C. Uber ein leichtes Verfahren die in der Theorie der S¨acularst¨orungen¨ vorkommenden Gleichungen numerisch aufzul¨osen*). // Journal fu¨r die reine und angewandte Mathematik. - 1846. - Т. 30. - С. 51-94. - 10.1515/crll. 1846.30.51.  DOI: 10.1515/crll.1846.30.51
6. Henrici P. On the speed of convergence of cyclic and quasicyclic Jacobi methods for computing eigenvalues of Hermitian matrices // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. - 1958. - Т. 6, № 2. - С. 144-162.  DOI: 10.1137/0106008
7. Wilkinson J. Note on the quadratic convergence of the cyclic Jacobi process // Numerische Mathematik. - 1962. - Т. 4, № 1. - С. 296-300.  DOI: 10.1007/BF01386321
8. Cosserat E. M. P., Cosserat F. Th'eorie des corps d'eformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - VI+226.
9. Nowacki W. Theory of Asymmetric Elasticity. – Oxford, New York, Toronto, Sydney, Paris, Frankfurt : Pergamon Press, 1986. – viii+383.
10. Neuber H. Uber Probleme der Spannungskonzentration im Cosserat-Ko¨rper // Acta Mechanica. - 1966. - Т. 2. - С. 48-69. -  DOI: 10.1007/BF01176729 EDN: RRUNTI
11. Neuber H. On the general solution of linear-elastic problems in isotropic and anisotropic Cosserat continua // Applied Mechanics: Proceedings of the Eleventh International Congress of Applied Mechanics Munich (Germany) 1964. - Springer. 1966. - С. 153-158. - \_16.  DOI: 10.1007/978-3-662-29364-5
12. Neuber H. On the Effect of Stress Concentration in Cosserat Continua // Mechanics of Generalized Continua / под ред. E. Kr¨oner. - Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 1968. - С. 109-113.  DOI: 10.1007/978-3-662-30257-6_13
13. Dyszlewicz J. Micropolar Theory of Elasticity. – Berlin : Springer Science & Business Media, 1986. – xv+345. – (Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics).
14. Радаев Ю. Н. Правило множителей в ковариантных формулировках микрополярных теорий механики континуума // Вестн. Сам. гос. техн. ун-та. Сер. Физ.мат. науки. - 2018. - Т. 22, вып. 3. - С. 504-517. -  DOI: 10.14498/vsgtu1635 EDN: YOYJQD
15. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. О двух основных естественных формах потенциала асимметричных тензоров силовых и моментных напряжений в механике гемитропных тел // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2022. - 3(53). - С. 86-100. -  DOI: 10.37972/chgpu.2022.53.3.010 EDN: YOEHQV
16. Besdo D. A contribution to the nonlinear theory of the Cosserat-continuum // Acta Mechanica. - 1974. - Т. 20. - С. 105-131.  DOI: 10.1007/bf01374965 EDN: DHXIWG
17. Gibbs J. On the equilibrium of heterogeneous substances // Transactions of the Connecticut Academy of .Arts and Sciences. – 1875. – Т. 3. – 108–248 and 343–524.
18. Радаев Ю., Мурашкин Е. Псевдотензорная формулировка механики гемитропных микрополярных сред // Проблемы прочности и пластичности. - 2020. - Т. 82, № 4. - С. 399-412. -  DOI: 10.32326/1814-9146-2020-82-4-399-412 EDN: TODIFV
19. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Приведение естественных форм гемитропных энергетических потенциалов к конвенциональным // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2022. - 4(54). - С. 108-115. - 10.37972/ chgpu.2022.54.4.009.  DOI: 10.37972/chgpu.2022.54.4.009 EDN: DTZTJY
20. Мурашкин Е. В. О связи микрополярных определяющих параметров термодинамических потенциалов состояния // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия механика предельного состояния. - 2023. - 1(55). - С. 110-121. -  DOI: 10.37972/chgpu.2023.55.1.012 EDN: JXXIAX
21. Murashkin E. V., Radayev Y. N. A negative weight pseudotensor formulation of coupled hemitropic thermoelasticity // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2023. - Т. 44, № 6. - С. 2440-2449. - 10.1134/ s1995080223060392.  DOI: 10.1134/s1995080223060392 EDN: PINYDI
22. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Theory of Poisson's ratio for a thermoelastic micropolar acentric isotropic solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2024. - Т. 45, № 5. - С. 2378-2390. - 10.1134/ s1995080224602480.  DOI: 10.1134/s1995080224602480 EDN: ASGCQB
23. Murashkin E. V., Radayev Y. N. Cubic Approximation of Stress Potential for a Hemitropic Micropolar Elastic Solid // Lobachevskii Journal of Mathematics. - Russian Federation, 2025. - Т. 46, № 5. - С. 2391-2400. -  DOI: 10.1134/S1995080225606514 EDN: UUSATV
24. Гуревич Г. Б. Основы теории алгебраических инвариантов. – М., Л. : ГИТТЛ, 1948. – 408 с. –
25. Спенсер Э. Теория инвариантов. - Мир, 1974.
26. Мурашкин Е. В., Радаев Ю. Н. Диагонализация энергетической формы гемитропного тела и система определяющих неравенств. Метод отделения квадратов // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия Физико-математические науки. – Самара, 2026. – Т. 30

Авторские права и лицензия

© 2026 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.