Овсянников В.М. Учет квадратичного и кубичного инвариантов тензора деформации в динамическом уравнении в перемещениях теории упругости // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2026. № 1(67). С. 239-242. DOI: https://doi.org/10.37972/chgpu.2026.67.1.018. EDN: LFAUIS.

Автор(ы)

Овсянников В.М. — Российский университет транспорта РУТ-МИИТORCIDeLibrary

Название статьи

Учет квадратичного и кубичного инвариантов тензора деформации в динамическом уравнении в перемещениях теории упругости

Название (англ.): Taking into account the quadratic and cubic invariants of the strain tensor in the dynamic equation in displacements of the theory of elasticity

Индекс(ы) УДК

532.511

DOI

10.37972/chgpu.2026.67.1.018

EDN

LFAUIS

Ключевые слова

деформации сдвига; уравнение неразрывности; волновое уравнение; генерация колебаний

Аннотация

Динамическое уравнение в перемещениях теории упругости не учитывает явно деформации сдвига. Их косвенный учет мог бы производиться через выражение для коэффициента объемного расширения, но его упрощают до оператора дивергенции. Поэтому для конструкций и сооружений, работающих в основном на сдвиг, решение динамического уравнения в перемещениях не дает правильного результата. Л. И. Седов дал полное выражение для коэффициента объемного расширения θ для задач теории упругости, содержащее линейный инвариант — оператор дивергенции, а также квадратичный I2 и кубичный I3 инварианты тензора деформации, которое учитывает деформации сдвига. Он отметил, что учет только слагаемого с оператором дивергенции при расчете объемного коэффициента расширения следует рассматривать приближенным вычислением. Л. И. Седов опирался на уравнение неразрывности ∂u/∂x + ∂v/∂y + ∂w/∂z + I2 + I3 = 0, выведенное Эйлером в 1752 г. Автор доклада повторил вывод В.И. Смирнова динамического уравнения в перемещениях с сохранением всех трех инвариантов. Оно получило вид неоднородного волнового уравнения. В неоднородную источниковую часть вошли квадратичный и кубичный инварианты. Чем больше их величины, тем большую амплитуду раскачки будут давать решения этого уравнения. Уничтожение квадратичного и кубичного инвариантов при выводе динамического уравнения занижает интенсивность возможных автоколебаний, способных привести к разрушению. В особенности учет квадратичного и кубичного инвариантов важен в сейсмологи в связи с обеспечением безопасности строений и в других чрезвычайных ситуациях.

Даты

Поступила: 10.03.2026; Принята: 19.05.2026; Опубликована: 01.07.2026

Страницы

239-242

Полная версия статьи

Скачать PDF

QR-код EDN

1. Euler L. Principia motus fluidorum. Pars prior // Novi Commentarii Academiae Imperialis Scientiarum Petropolitanae. - 1761. - Vol. 6. - P. 271-311. - Opera omnia, Ser. II, Vol. 13, pp. 1-369.
2. Euler L. Commentationes Mechanicae ad Theoriam Corporum Pertinentes. Volumen Prius / ed. by C. A. Truesdell. - Lausannae, 1954.
3. Euler L. Principia motus fluidorum. - Moscow: Sputnik+, 2018. - 94 p. - Perevod s latyni nachal'nykh razdelov doklada 1752 g. v Berlinskoi AN Ivanovoi, E. V., Ovsyannikova, V. M.
4. Овсянников В. М. Сопоставление дополнительных слагаемых второго порядка малости для конечно-разностных уравнений Эйлера и малых добавок в регуляризованных уравнениях гидродинамики // ЖВМиМФ. - 2017. - Т. 57, № 5. - С. 876-880.  DOI: 10.7868/S004446691705009X EDN: YRWNML
5. Овсянников В. М. Уравнение неразрывности Эйлера с членами высокого порядка малости по времени течения // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. мат. и ее прил. Темат. обз. - 2020. - Т. 182. - С. 95-100. -  DOI: 10.36535/0233-67232020-182-95-100 EDN: RTZZUQ
6. Овсянников В. М. Использование геометрических свойств трех инвариантов в волновых задачах гидродинамики и электродинамики // Известия РАН. Серия физическая. - 2024. - Т. 88, № 1. - С. 138-147.  DOI: 10.31857/S0367676524010249 EDN: RZAYZF
7. Овсянников В. М. Использование геометрических свойств трех инвариантов в волновом уравнении для напряженности электрического поля // Известия РАН. Серия физическая. - 2025. - Т. 89, № 2. - С. 164-171.  DOI: 10.7868/s3034646025020272 EDN: DTWHKW
8. Овсянников В. М. Учет высших инвариантов тензора деформаций в задачах теории упругости // Вестник гражданских инженеров. - 2025. - 3(110). - С. 68-73.  DOI: 10.23968/1999-5571-2025-22-3-68-73 EDN: JUXDPQ

Авторские права и лицензия

© 2026 Автор(ы). Статья публикуется в открытом доступе на условиях лицензии Creative Commons «Attribution» 4.0 Всемирная (CC BY 4.0), которая разрешает использование, распространение и воспроизведение на любом носителе при условии надлежащего указания авторства. Авторские права на статью сохраняются за авторами.