Гармонические и нестационарные волны в вязкоупругих средах, свойства которых моделируются операторами дробного порядка

539.374

операторы дробного порядка; наследственная механика; дисперсия и затухание волн; нестационарные волны напряжений; прифронтовая асимптотика

В работе выполнено моделирование и проведён анализ распространения волн в средах, наследственно-упругие свойства которых описываются с помощью моделей Максвелла, Кельвина-Фойгта и стандартного линейного твёрдого тела с производными дробного порядка. Задачами исследования являются: математическое моделирование эволюции коэффициента Пуассона; анализ распространения установившихся гармонических волн в трёхмерных средах; анализ распространения установившихся гармонических волн в одномерных средах; анализ распространения нестационарных волн напряжений в одномерных средах; моделирование распространения нестационарных волн напряжений с использованием лучевых разложений. Разработана методика выражения временных зависимостей коэффициента Пуассона для процессов релаксации и ползучести через функции Гельфанда-Шилова и Миттаг-Леффлёра. С использованием данной методики получены коэффициенты Пуассона для 16 моделей, в которых 4 модуля поочерёдно задаются моделями Скотт-Блэра, Максвелла, Кельвина-Фойгта и стандартного линейного твёрдого тела при отсутствии релаксации объёмного модуля [1]. Получены точные аналитические выражения для частотных зависимостей скорости, коэффициента затухания и логарифмического декремента затухания установившихся гармонических волн в трёхмерных [2,3] и одномерных [4] вязкоупругих средах, описываемых обобщёнными дробными моделями Максвелла, Кельвина-Фойгта и стандартного линейного твёрдого тела, моделирующих различные модули при отсутствии релаксации объёмного модуля, построены графики данных зависимостей, найдены асимптотические значения вышеперечисленных волновых характеристик в пределе бесконечно малых и бесконечно больших частот. Исследовано распространение волн напряжений в наследственно упругих стержнях для случая, когда оператор модуля Юнга описывается моделью стандартного линейного твёрдого тела с дробными производными без учета объемной релаксации [5]. Волны напряжений возбуждаются путем приложения к краю полубесконечного стержня постоянной нагрузки с помощью функции Хевисайда или импульсной нагрузки с помощью дельта-функции Дирака. Решение ищется с помощью преобразования Лапласа с последующим численным анализом. Для частных случаев получены аналитические решения, а в общем случае задача была решена численно. Для различных моментов времени и значений параметров дробности построены графики зависимости напряжений от координаты. Разработано обобщение лучевого разложения волнового поля в окрестности волнового фронта в стержнях в асимптотический знакочередующийся ряд по степеням сопутствующего времени с коэффициентами, зависящими от пространственной координаты, на случай слабо-сингулярных ядер ползучести. С использованием данного метода получены обобщённые лучевые разложения для моделей Максвелла, стандартного линейного твёрдого тела и для общего случая чисто волновых моделей с дробной производной порядка 1/2 для приложенных к левому концу стержня постоянной и импульсной нагрузок. Показан механизм получения обобщённого лучевого ряда для случая произвольной нагрузки. Проведена численная валидация полученных результатов.

Данные исследования поддержаны Российским научным фондом, проект № 25-11-00140.

Поступила: 10.02.2026; Принята: 25.05.2026; Опубликована: 01.07.2026

243-247